哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
三．（20分）设 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 为一列非空有界闭区间序列满足 $\displaystyle S_{1} \supset S_{2} \supset \cdots \supset S_{n} \supset \cdots$ ．利用 Bolzano－Weierstrass 致密性定理和 Heine－Borel 有限覆盖定理分别证明
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\bigcap_{n=1}^{\infty} S_{n} \neq \varnothing .
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💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定区间表示并分析单调性
设 $S_n = [a_n, b_n]$，其中 $a_n \leq b_n$。由 $S_1 \supset S_2 \supset \cdots$ 可知，$a_n$ 单调递增且以 $b_1$ 为上界，$b_n$ 单调递减且以 $a_1$ 为下界。
提示：注意区间包含关系对端点单调性的影响：左端点递增，右端点递减。
步骤 2/5
目标：利用Bolzano-Weierstrass定理证明存在公共点
由单调有界定理，$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ 和 $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ 存在。由于 $a_n \leq b_n$，取极限得 $a \leq b$。对任意 $n$，有 $a_n \leq a \leq b \leq b_n$，因此 $[a, b] \subseteq S_n$ 对所有 $n$ 成立，从而 $[a, b] \subseteq \bigcap_{n=1}^\infty S_n$，故交集非空。
公式：$\lim_{n\to\infty} a_n = a$, $\lim_{n\to\infty} b_n = b$, $a \leq b$
提示：注意极限的存在性由单调有界保证，且 $a \leq b$ 由不等式取极限得到。
步骤 3/5
目标：利用Heine-Borel定理证明（反证法）
假设 $\bigcap_{n=1}^\infty S_n = \varnothing$，则 $\mathbb{R} \setminus \bigcap_{n=1}^\infty S_n = \bigcup_{n=1}^\infty (\mathbb{R} \setminus S_n) = \mathbb{R}$。由于 $S_n$ 是闭区间，$\mathbb{R} \setminus S_n$ 是开集，故 $\{ \mathbb{R} \setminus S_n \}_{n=1}^\infty$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个开覆盖，特别覆盖了 $S_1$。
公式：$\bigcup_{n=1}^\infty (\mathbb{R} \setminus S_n) = \mathbb{R}$
提示：注意开覆盖的定义：每个 $\mathbb{R} \setminus S_n$ 是开集。
步骤 4/5
目标：应用有限覆盖定理导出矛盾
由Heine-Borel定理，$S_1$ 是有界闭集，故存在有限子覆盖，即存在 $N$ 使得 $S_1 \subseteq \bigcup_{k=1}^N (\mathbb{R} \setminus S_k)$。由于 $S_1 \supset S_2 \supset \cdots \supset S_N$，有 $\bigcup_{k=1}^N (\mathbb{R} \setminus S_k) = \mathbb{R} \setminus S_N$，因此 $S_1 \subseteq \mathbb{R} \setminus S_N$，即 $S_1 \cap S_N = \varnothing$。但 $S_N \subseteq S_1$，矛盾。故假设不成立，交集非空。
公式：$S_1 \subseteq \mathbb{R} \setminus S_N$
提示：注意有限覆盖定理要求覆盖的是有界闭集，$S_1$ 满足条件。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，由Bolzano-Weierstrass定理和Heine-Borel定理均可得 $\bigcap_{n=1}^\infty S_n \neq \varnothing$。
提示：两种方法本质不同：前者构造极限点，后者使用反证法和覆盖性质。
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