哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 定义证明二元函数
$$
f(x, y)=\frac{x}{y}
$$
在 $\displaystyle \{(x, y): x, y \in \mathbb{R}, y \neq 0\}$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的结论
要证明函数 $f(x,y)=\frac{x}{y}$ 在定义域 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y\neq 0\}$ 上连续，即对任意 $(x_0,y_0)\in D$，证明 $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$。
提示：连续的定义：极限值等于函数值。
步骤 2/5
目标：写出差值表达式并放缩
给定 $\varepsilon>0$，需要找到 $\delta>0$，使得当 $0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$ 时，有 $\left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|<\varepsilon$。
首先，
\[
\left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|=\left|\frac{xy_0-x_0y}{yy_0}\right|=\frac{|xy_0-x_0y_0+x_0y_0-x_0y|}{|y||y_0|}=\frac{|(x-x_0)y_0+x_0(y_0-y)|}{|y||y_0|}\leq \frac{|x-x_0||y_0|+|x_0||y-y_0|}{|y||y_0|}.
\]
公式：三角不等式 $|a+b|\leq |a|+|b|$
提示：注意分子添加和减去 $x_0y_0$ 的技巧。
步骤 3/5
目标：限制 $y$ 的范围以控制分母
由于 $(x,y)\to (x_0,y_0)$，可先限制 $(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的一个邻域内，使得 $|y-y_0|<\frac{|y_0|}{2}$，则 $|y|>\frac{|y_0|}{2}$。于是分母 $|y||y_0|>\frac{y_0^2}{2}$。因此
\[
\left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|\leq \frac{|x-x_0||y_0|+|x_0||y-y_0|}{\frac{y_0^2}{2}}=\frac{2}{|y_0|}|x-x_0|+\frac{2|x_0|}{y_0^2}|y-y_0|.
\]
公式：逆三角不等式 $|y|\geq |y_0|-|y-y_0|$
提示：必须保证 $y_0\neq 0$，否则无法定义。
步骤 4/5
目标：合并系数并利用 $\delta$ 控制
令 $M=\max\left\{\frac{2}{|y_0|},\frac{2|x_0|}{y_0^2}\right\}$，则上式 $\leq M(|x-x_0|+|y-y_0|)$。又 $|x-x_0|+|y-y_0|\leq \sqrt{2}\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$，所以
\[
\left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|\leq M\sqrt{2}\delta.
\]
公式：范数关系 $|x-x_0|+|y-y_0|\leq \sqrt{2}\|(x-x_0,y-y_0)\|_2$
提示：注意 $M$ 依赖于 $(x_0,y_0)$，但固定点下为常数。
步骤 5/5
目标：选取 $\delta$ 并完成证明
取 $\delta=\min\left\{\frac{|y_0|}{2},\frac{\varepsilon}{M\sqrt{2}}\right\}$，则当 $0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$ 时，有 $\left|\frac{x}{y}-\frac{x_0}{y_0}\right|<\varepsilon$。因此 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续，由 $(x_0,y_0)$ 的任意性，$f$ 在 $D$ 上连续。
提示：确保 $\delta$ 同时满足两个条件：$|y-y_0|<\frac{|y_0|}{2}$ 和 $M\sqrt{2}\delta<\varepsilon$。
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