哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足：
（1）$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且非负， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ；
（2）$\displaystyle \forall \delta \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-\delta]$ 和 $\displaystyle [\delta, 1]$ 上都一致收敛于 0 ．
证明对 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x)$ ，有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用连续性得到局部估计
由于 $g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，故有界，设 $|g(x)| \leq M$。又 $g(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x| < \delta$ 时，$|g(x) - g(0)| < \varepsilon$。
提示：注意连续性的定义：存在 $\delta$ 使得 $|x-0|<\delta$ 时 $|g(x)-g(0)|<\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：写出积分差并放缩
考虑积分差：
$$
\left| \int_{-1}^{1} g(x) \varphi_n(x) \, dx - g(0) \right|
= \left| \int_{-1}^{1} [g(x) - g(0)] \varphi_n(x) \, dx \right|
\leq \int_{-1}^{1} |g(x) - g(0)| \varphi_n(x) \, dx.
$$
这里利用了 $\int_{-1}^{1} \varphi_n(x) \, dx$ 趋于 1 以及 $\varphi_n \geq 0$。
公式：三角不等式
提示：注意 $g(0)$ 可以写成 $g(0)\int \varphi_n$ 但这里直接减去 $g(0)$ 更简单，因为 $\int \varphi_n$ 不一定等于1。
步骤 3/6
目标：分割积分区间
将积分区间分为三部分：$[-1, -\delta]$, $[-\delta, \delta]$, $[\delta, 1]$。分别估计每个区间上的积分。
提示：分割点 $\delta$ 由连续性确定，且 $\delta \in (0,1)$。
步骤 4/6
目标：估计中间区间 $[-\delta, \delta]$
在 $[-\delta, \delta]$ 上，$|g(x)-g(0)| < \varepsilon$，且 $\varphi_n(x) \geq 0$，故
$$
\int_{-\delta}^{\delta} |g(x)-g(0)| \varphi_n(x) \, dx \leq \varepsilon \int_{-\delta}^{\delta} \varphi_n(x) \, dx \leq \varepsilon \int_{-1}^{1} \varphi_n(x) \, dx.
$$
由条件（1），存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，$\int_{-1}^{1} \varphi_n(x) \, dx < 1+\varepsilon$，因此上式 $\leq \varepsilon(1+\varepsilon)$。
公式：条件（1）：$\lim_{n\to\infty}\int_{-1}^1 \varphi_n = 1$
提示：注意 $\int_{-\delta}^{\delta} \varphi_n \leq \int_{-1}^1 \varphi_n$，因为 $\varphi_n \geq 0$。
步骤 5/6
目标：估计两侧区间 $[-1,-\delta]$ 和 $[\delta,1]$
由条件（2），$\varphi_n(x)$ 在 $[-1,-\delta]$ 和 $[\delta,1]$ 上一致收敛于 0，故存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时，对任意 $x \in [-1,-\delta] \cup [\delta,1]$，有 $\varphi_n(x) < \varepsilon$。于是
$$
\int_{-1}^{-\delta} |g(x)-g(0)| \varphi_n(x) \, dx \leq (M+|g(0)|) \varepsilon \cdot (1-\delta) \leq (M+|g(0)|) \varepsilon,
$$
同理，$\int_{\delta}^{1} |g(x)-g(0)| \varphi_n(x) \, dx \leq (M+|g(0)|) \varepsilon$。
公式：一致收敛定义
提示：注意 $|g(x)-g(0)| \leq |g(x)|+|g(0)| \leq M+|g(0)|$，且区间长度不超过1。
步骤 6/6
目标：合并估计并取极限
取 $N = \max(N_1, N_2)$，则当 $n > N$ 时，
$$
\left| \int_{-1}^{1} g(x) \varphi_n(x) \, dx - g(0) \right|
\leq \varepsilon(1+\varepsilon) + 2(M+|g(0)|) \varepsilon.
$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，得证。
提示：注意 $\varepsilon$ 是任意正数，因此极限为0。
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