哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题

将级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$ 按如下方式加括号：令第 $m$ 组包含 $2^{m-1}$ 项，即 $F_m(x) = \sum_{n=2^{m-1}}^{2^m-1} \frac{\sin nx}{n}$，其中 $m=1,2,\ldots$。第一组 $F_1(x)=\frac{\sin x}{1}$，第二组 $F_2(x)=\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}$，以此类推。

对任意 $p \leq q$，有恒等式 $\sum_{n=p}^{q} \frac{\sin nx}{n} = \frac{1}{q} \sum_{n=p}^{q} \sin nx + \sum_{n=p}^{q-1} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \sum_{k=p}^{n} \sin kx$。该式通过分部求和（Abel变换）得到。

利用三角恒等式 $\sum_{n=p}^{q} \sin nx = \frac{\cos((p-\frac12)x) - \cos((q+\frac12)x)}{2\sin\frac{x}{2}}$，可得 $\left|\sum_{n=p}^{q} \sin nx\right| \leq \frac{1}{|\sin\frac{x}{2}|}$。由于 $x \in [\delta, \pi-\delta]$，$\sin\frac{x}{2} \geq \sin\frac{\delta}{2} > 0$，故上界为 $\frac{1}{\sin\frac{\delta}{2}}$。

对 $F_m(x)$，取 $p=2^{m-1}$，$q=2^m-1$。由Abel变换和正弦部分和上界，得 $|F_m(x)| \leq \frac{1}{q} \cdot \frac{1}{\sin\frac{\delta}{2}} + \sum_{n=p}^{q-1} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \cdot \frac{1}{\sin\frac{\delta}{2}} = \frac{1}{\sin\frac{\delta}{2}} \left(\frac{1}{q} + \frac{1}{p} - \frac{1}{q}\right) = \frac{1}{p \sin\frac{\delta}{2}}$。由于 $p=2^{m-1}$，故 $|F_m(x)| \leq \frac{1}{2^{m-1} \sin\frac{\delta}{2}}$。

由于 $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{2^{m-1} \sin\frac{\delta}{2}} = \frac{1}{\sin\frac{\delta}{2}} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{2^{m-1}}$ 收敛（几何级数），且 $|F_m(x)| \leq \frac{1}{2^{m-1} \sin\frac{\delta}{2}}$ 对一切 $x \in [\delta, \pi-\delta]$ 成立，故级数 $\sum_{m=1}^{\infty} F_m(x)$ 在 $[\delta, \pi-\delta]$ 上绝对且一致收敛。

因此，对原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$ 按 $2^{m-1}$ 项一组加括号后得到的新级数 $\sum_{m=1}^{\infty} F_m(x)$ 在 $[\delta, \pi-\delta]$ 上绝对且一致收敛。