哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）（1）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有连续的导函数，$\displaystyle f(a)=0$ ．记 $\displaystyle g(x)=\int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ ．证明：
（i）
$$
\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x ;
$$
（ii）
$$
\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造二次型并利用非负性
对于任意实数 $\lambda$，考虑积分 $\int_a^b (f(x) + \lambda g(x))^2 dx \geq 0$。展开得：$\int_a^b f^2 dx + 2\lambda \int_a^b fg dx + \lambda^2 \int_a^b g^2 dx \geq 0$。这是一个关于 $\lambda$ 的二次型，其系数 $\int_a^b g^2 dx \geq 0$，因此判别式非正。
公式：$\int_a^b (f+\lambda g)^2 dx = \int_a^b f^2 dx + 2\lambda \int_a^b fg dx + \lambda^2 \int_a^b g^2 dx \geq 0$
提示：注意二次型非负的条件：若二次项系数为正，则判别式 $\Delta \leq 0$；若二次项系数为零，则需一次项系数也为零。这里 $\int g^2 = 0$ 时 $g$ 几乎处处为零，不等式显然成立。
步骤 2/6
目标：由判别式非正得到柯西-施瓦茨不等式
由于二次型非负，判别式 $\Delta = 4(\int_a^b fg dx)^2 - 4(\int_a^b f^2 dx)(\int_a^b g^2 dx) \leq 0$，即 $(\int_a^b fg dx)^2 \leq (\int_a^b f^2 dx)(\int_a^b g^2 dx)$。
公式：$\Delta = 4(\int fg)^2 - 4(\int f^2)(\int g^2) \leq 0$
提示：注意判别式公式中系数4不要遗漏。
步骤 3/6
目标：证明 (i) 中的不等式：利用 $|f(x)| \leq g(x)$
由 $g(x) = \int_a^x |f'(t)| dt$，得 $g'(x) = |f'(x)|$，且 $g(a)=0$。由于 $f(a)=0$，有 $|f(x)| = |\int_a^x f'(t) dt| \leq \int_a^x |f'(t)| dt = g(x)$。因此 $|f(x)f'(x)| \leq g(x) |f'(x)| = g(x) g'(x)$。两边在 $[a,b]$ 上积分得 $\int_a^b |f(x)f'(x)| dx \leq \int_a^b g(x) g'(x) dx$。
公式：$|f(x)| \leq g(x)$，$g'(x)=|f'(x)|$
提示：注意绝对值不等式的使用：$|\int_a^x f'(t) dt| \leq \int_a^x |f'(t)| dt$。
步骤 4/6
目标：计算 $\int_a^b g g' dx$ 的值
由于 $g g' = \frac{1}{2} (g^2)'$，所以 $\int_a^b g(x) g'(x) dx = \frac{1}{2} [g^2(b) - g^2(a)] = \frac{1}{2} g^2(b)$，因为 $g(a)=0$。
公式：$\int_a^b g g' dx = \frac{1}{2} g^2(b)$
提示：注意分部积分或直接利用原函数。
步骤 5/6
目标：利用柯西-施瓦茨不等式估计 $g(b)$
$g(b) = \int_a^b |f'(x)| dx$。由柯西-施瓦茨不等式，$\left(\int_a^b |f'(x)| dx\right)^2 \leq \int_a^b 1^2 dx \cdot \int_a^b |f'(x)|^2 dx = (b-a) \int_a^b |f'(x)|^2 dx$。因此 $g(b) \leq \sqrt{b-a} \sqrt{\int_a^b |f'|^2 dx}$。
公式：$(\int_a^b |f'| dx)^2 \leq (b-a) \int_a^b |f'|^2 dx$
提示：注意柯西-施瓦茨不等式的应用条件：函数平方可积。
步骤 6/6
目标：得到 (ii) 中的不等式
由 (i) 和上一步，$\int_a^b |f f'| dx \leq \frac{1}{2} g^2(b) \leq \frac{1}{2} (b-a) \int_a^b |f'|^2 dx$，即 $\int_a^b |f(x) f'(x)| dx \leq \frac{b-a}{2} \int_a^b |f'(x)|^2 dx$。
公式：$\int_a^b |f f'| dx \leq \frac{b-a}{2} \int_a^b |f'|^2 dx$
提示：注意不等式方向：由 $g(b)^2 \leq (b-a) \int |f'|^2$ 乘以 $1/2$ 得到。
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