哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）（1）计算
$$
\int_{\overrightarrow{A B C}}\left(x^{2}+10 x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(5 x^{2}+5 x y\right) \mathrm{d} y
$$
其中 $\displaystyle A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2)$ ．
（2）设
$$
g(x, y, z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}
$$
计算 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial g}{\partial \vec{n}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $S$ 为以原点为中心的任一球面，$\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位外法向量，$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial \vec{n}}$ 为 $g$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 的方向导数．
（3）设
$$
\vec{F}(x, y, z)=\frac{-y \vec{i}+x \vec{j}}{x^{2}+y^{2}}
$$
在除 $z$ 轴外均有定义。计算 $\displaystyle \int_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{r}$ ，其中 $\displaystyle \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, C$ 为以 $z$ 轴上点为圆心的平行于 $\displaystyle x o y$ 平面的圆周，从 $z$ 轴上方无穷远处看 $C$ 为逆时针方向。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分解曲线积分路径
曲线 $\overrightarrow{ABC}$ 由两段直线组成：$AB$ 从 $A(0,0)$ 到 $B(2,0)$，$BC$ 从 $B(2,0)$ 到 $C(2,2)$。分别计算每段上的积分再求和。
提示：注意折线路径需分段，每段参数化要正确。
步骤 2/7
目标：计算AB段积分
在 $AB$ 段，$y=0$，$dy=0$，$x$ 从 $0$ 到 $2$。代入被积表达式得：
$$\int_{AB} (x^2+10x\cdot0+0^2)dx + (5x^2+5x\cdot0)\cdot0 = \int_0^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}.$$
公式：$$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$$
提示：注意 $dy=0$ 时第二项为零。
步骤 3/7
目标：计算BC段积分
在 $BC$ 段，$x=2$，$dx=0$，$y$ 从 $0$ 到 $2$。代入得：
$$\int_{BC} (2^2+10\cdot2y+y^2)\cdot0 + (5\cdot2^2+5\cdot2y)dy = \int_0^2 (20+10y)dy = [20y+5y^2]_0^2 = 40+20=60.$$
公式：$$\int (20+10y)dy = 20y+5y^2$$
提示：注意 $dx=0$ 时第一项为零。
步骤 4/7
目标：求和得曲线积分结果
将两段积分相加：$\frac{8}{3}+60 = \frac{8}{3}+\frac{180}{3} = \frac{188}{3}$。
提示：通分时注意分母统一。
步骤 5/7
目标：计算方向导数
设球面 $S$ 半径为 $R$，单位外法向量 $\vec{n} = \frac{\vec{r}}{R}$，其中 $\vec{r}=(x,y,z)$。$g = \frac{1}{r}$，$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。梯度 $\nabla g = -\frac{\vec{r}}{r^3}$，所以方向导数 $\frac{\partial g}{\partial \vec{n}} = \nabla g \cdot \vec{n} = -\frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \frac{\vec{r}}{R} = -\frac{R}{R^3} = -\frac{1}{R^2}$。
公式：$$\nabla g = -\frac{\vec{r}}{r^3}, \quad \frac{\partial g}{\partial \vec{n}} = \nabla g \cdot \vec{n}$$
提示：注意 $r=R$ 在球面上。
步骤 6/7
目标：计算曲面积分
由于方向导数在球面上为常数 $-\frac{1}{R^2}$，所以
$$\iint_S \frac{\partial g}{\partial \vec{n}} dS = -\frac{1}{R^2} \iint_S dS = -\frac{1}{R^2} \cdot 4\pi R^2 = -4\pi.$$
公式：球面积分公式 $\iint_S dS = 4\pi R^2$
提示：注意常数可提出积分号。
步骤 7/7
目标：参数化圆周并计算线积分
圆周 $C$ 在平行于 $xoy$ 平面的平面上，圆心在 $z$ 轴上，半径为 $R$。参数化：$x=R\cos\theta, y=R\sin\theta, z=z_0$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，逆时针方向对应 $\theta$ 增加。则 $\vec{r}=(R\cos\theta, R\sin\theta, z_0)$，$d\vec{r}=(-R\sin\theta, R\cos\theta, 0)d\theta$。
$$\vec{F} = \left(-\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0\right) = \left(-\frac{R\sin\theta}{R^2}, \frac{R\cos\theta}{R^2}, 0\right) = \left(-\frac{\sin\theta}{R}, \frac{\cos\theta}{R}, 0\right).$$
点乘得：
$$\vec{F} \cdot d\vec{r} = \left(-\frac{\sin\theta}{R}\right)(-R\sin\theta) + \left(\frac{\cos\theta}{R}\right)(R\cos\theta) + 0 = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \, d\theta.$$
积分：
$$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.$$
公式：$$\vec{F} \cdot d\vec{r} = d\theta$$
提示：注意参数化方向与逆时针一致，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
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