哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）判断＂若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，但无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界＂这个命题及其逆命题的正确性，正确请加以证明，错误举一反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析原命题并尝试证明
原命题：若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可微且无界，则 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内无界。
假设 $f'(x)$ 有界，即存在 $M>0$ 使得 $|f'(x)|\leq M$ 对所有 $x\in(a,b)$ 成立。取定 $c\in(a,b)$，则对任意 $x\in(a,b)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $c$ 之间，使得 $|f(x)-f(c)|=|f'(\xi)||x-c|\leq M|x-c|\leq M(b-a)$。因此 $|f(x)|\leq |f(c)|+M(b-a)$，即 $f(x)$ 有界，与已知矛盾。故 $f'(x)$ 无界，原命题正确。
公式：|f(x)-f(c)| = |f'(\xi)||x-c|
提示：注意拉格朗日中值定理的应用条件：函数在闭区间上连续，开区间内可导。这里 $f$ 在 $(a,b)$ 内可微，故在任意闭子区间上满足条件。
步骤 2/3
目标：分析逆命题并构造反例
逆命题：若 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内无界，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内无界。
考虑反例：$f(x)=\sin\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上。该函数在 $(0,1)$ 内可微，且 $f'(x)=-\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}$。当 $x\to 0^+$ 时，$\frac{1}{x^2}\to +\infty$，而 $\cos\frac{1}{x}$ 振荡，故 $f'(x)$ 无界。但 $|f(x)|\leq 1$，所以 $f(x)$ 有界。因此逆命题错误。
公式：f'(x) = -\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}
提示：注意反例需满足 $f'(x)$ 无界但 $f(x)$ 有界。$\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 附近振荡，但值域有限。
步骤 3/3
目标：总结命题正确性
原命题正确，逆命题错误。
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