哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）（1）证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{m}=1
$$
这里 $m$ 为给定正整数．
（2）设 $\displaystyle a_{k}>0(k=1,2, \cdots, m)$ 证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}=\max \left\{a_{k}\right\}(1 \leqslant k \leqslant m) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明极限 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{m}=1\) 当 \(m>1\)
设 \(m>1\)，则 \(\sqrt[n]{m}>1\)。对任意 \(\epsilon>0\)，要使得 \(\sqrt[n]{m}<1+\epsilon\)，即 \(m^{1/n}<1+\epsilon\)。两边取自然对数得 \(\frac{1}{n}\ln m < \ln(1+\epsilon)\)，解得 \(n > \frac{\ln m}{\ln(1+\epsilon)}\)。取 \(N = \left\lceil \frac{\ln m}{\ln(1+\epsilon)} \right\rceil\)，则当 \(n>N\) 时，有 \(|\sqrt[n]{m}-1| = \sqrt[n]{m}-1 < \epsilon\)。
公式：\sqrt[n]{m} = m^{1/n}
提示：注意 \(\ln(1+\epsilon)>0\)，不等式方向不变。
步骤 2/6
目标：证明极限 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{m}=1\) 当 \(0
设 \(00\)，要使得 \(1-\sqrt[n]{m}<\epsilon\)，即 \(\sqrt[n]{m}>1-\epsilon\)。两边取自然对数得 \(\frac{1}{n}\ln m > \ln(1-\epsilon)\)。注意 \(\ln m<0\)，\(\ln(1-\epsilon)<0\)，不等式两边除以负数需变号，但这里直接解出 \(n > \frac{\ln m}{\ln(1-\epsilon)}\)。取 \(N = \left\lceil \frac{\ln m}{\ln(1-\epsilon)} \right\rceil\)，则当 \(n>N\) 时，有 \(|\sqrt[n]{m}-1| = 1-\sqrt[n]{m} < \epsilon\)。
公式：\sqrt[n]{m} = m^{1/n}
提示：注意 \(\ln(1-\epsilon)<0\)，不等式方向需小心，但最终形式与 \(m>1\) 一致。
步骤 3/6
目标：证明极限 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{m}=1\) 当 \(m=1\)
若 \(m=1\)，则 \(\sqrt[n]{1}=1\) 恒成立，极限显然为 \(1\)。
提示：平凡情况，无需额外证明。
步骤 4/6
目标：证明第二部分的上界估计
令 \(M = \max\{a_1, a_2, \dots, a_m\}\)。由于每个 \(a_k \leq M\)，有 \(a_k^n \leq M^n\)，所以 \(a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n \leq m M^n\)。开 \(n\) 次方得 \(\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n} \leq \sqrt[n]{m M^n} = M \sqrt[n]{m}\)。由第一部分知 \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{m} = 1\)，故 \(\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n} \leq M\)。
公式：\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n} \leq M \sqrt[n]{m}
提示：注意上极限的不等式方向。
步骤 5/6
目标：证明第二部分的下界估计
存在某个 \(k_0\) 使得 \(a_{k_0} = M\)，则 \(a_1^n + \cdots + a_m^n \geq a_{k_0}^n = M^n\)。开 \(n\) 次方得 \(\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n} \geq M\)。因此 \(\liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n} \geq M\)。
公式：\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n} \geq M
提示：下界直接由最大值项得到。
步骤 6/6
目标：综合上下极限得到极限
由 \(\limsup \leq M\) 和 \(\liminf \geq M\) 可得 \(\limsup = \liminf = M\)，因此极限存在且等于 \(M\)，即 \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = M\)。
提示：极限存在的充要条件是上下极限相等。
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