哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）（1）证明
$$
\ln (1+x) \leqslant x, x \in(-1, \infty)
$$
（2）求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}}
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在．证明
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{2}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明不等式 ln(1+x) ≤ x
构造函数 $g(x)=x-\ln(1+x)$，定义域 $x\in(-1,\infty)$。求导得 $g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}$。当 $x>0$ 时 $g'(x)>0$，函数递增；当 $-1
公式：g(x)=x-\ln(1+x),\quad g'(x)=\frac{x}{1+x}
提示：注意定义域为 $(-1,\infty)$，导数符号分析要分区间。
步骤 2/3
目标：求极限 lim_{x→0} (x-\ln(1+x))/x^2
利用泰勒展开：$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，代入得 $x-\ln(1+x)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，因此极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2),\quad \lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}
提示：也可用洛必达法则，但泰勒展开更简洁。注意展开到 $x^2$ 项即可。
步骤 3/3
目标：证明极限 lim_{x→0} [f(x)-f(\ln(1+x))]/x^2 = (1/2)f''(0)
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\ln(1+x)$ 之间，使得 $f(x)-f(\ln(1+x))=f'(\xi)(x-\ln(1+x))$。由于 $f'(0)=0$，对 $f'(\xi)$ 再用拉格朗日中值定理，存在 $\eta$ 介于 $0$ 与 $\xi$ 之间，使得 $f'(\xi)=f''(\eta)\xi$。于是原式化为 $\frac{f''(\eta)\xi(x-\ln(1+x))}{x^2}$。由（2）知 $\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}\to\frac12$，且 $\frac{\xi}{x}\to 1$（因为 $\ln(1+x)\sim x$），$f''(\eta)\to f''(0)$，故极限为 $\frac12 f''(0)$。
公式：f(x)-f(\ln(1+x))=f'(\xi)(x-\ln(1+x)),\quad f'(\xi)=f''(\eta)\xi
提示：注意 $f'(0)=0$ 是关键，否则无法得到 $f''(0)$。中值定理中 $\xi$ 和 $\eta$ 依赖于 $x$，但极限存在。
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