哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）若 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，证明：
（1）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界；
（2）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 是一致连续函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 f 在 (a,b) 上有界
由于 f 在 (a,b) 上一致连续，取 ε=1，存在 δ>0，使得对任意 x,y∈(a,b)，当 |x-y|<δ 时，有 |f(x)-f(y)|<1。固定一点 x₀∈(a,b)，对任意 x∈(a,b)，由于 (a,b) 是有限区间，可用有限个长度为 δ 的小区间覆盖从 x₀ 到 x 的路径，从而存在正整数 n 使得 |f(x)-f(x₀)| ≤ n·1。因为区间长度有限，n 有上界，故 f 在 (a,b) 上有界。设存在 M>0，使得对所有 x∈(a,b)，有 |f(x)| ≤ M。
公式：|f(x)-f(x₀)| \leq n \cdot 1
提示：注意一致连续定义中 ε 可以任意取，这里取 ε=1 是为了得到振幅控制。
步骤 2/6
目标：证明 g 在 f 的值域上有界
由第一步知 f(x) ∈ [-M, M] 对所有 x∈(a,b) 成立。函数 g 在 ℝ 上连续，因此在闭区间 [-M, M] 上连续。由闭区间上连续函数的有界性定理，存在 K>0，使得对任意 t∈[-M, M]，有 |g(t)| ≤ K。
公式：\forall t \in [-M, M],\ |g(t)| \leq K
提示：闭区间上连续函数必有界，这是经典结论。
步骤 3/6
目标：得出复合函数有界
对任意 x∈(a,b)，有 f(x) ∈ [-M, M]，因此 |g(f(x))| ≤ K。所以复合函数 g(f(x)) 在 (a,b) 上有界。
公式：|g(f(x))| \leq K,\ \forall x \in (a,b)
提示：有界性直接由 g 在 f 值域上的有界性得到。
步骤 4/6
目标：准备证明一致连续性：利用 g 在闭区间上的一致连续性
由第一步知 f(x) ∈ [-M, M] 对所有 x∈(a,b) 成立。g 在闭区间 [-M, M] 上连续，从而一致连续。因此对任意 ε>0，存在 η>0，使得对任意 u,v∈[-M, M]，当 |u-v|<η 时，有 |g(u)-g(v)|<ε。
公式：\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall u,v\in[-M,M],\ |u-v|<\eta \Rightarrow |g(u)-g(v)|<\varepsilon
提示：闭区间上连续函数一致连续，这是 Heine-Cantor 定理。
步骤 5/6
目标：利用 f 的一致连续性找到 δ
因为 f 在 (a,b) 上一致连续，对上述 η>0，存在 δ>0，使得对任意 x₁,x₂∈(a,b)，当 |x₁-x₂|<δ 时，有 |f(x₁)-f(x₂)|<η。
公式：\forall \eta>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x_1,x_2\in(a,b),\ |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\eta
提示：注意这里 η 是由上一步得到的，δ 依赖于 η 和 f。
步骤 6/6
目标：结合两个一致连续性证明复合函数一致连续
对任意 ε>0，取 η 和 δ 如上。当 x₁,x₂∈(a,b) 且 |x₁-x₂|<δ 时，有 |f(x₁)-f(x₂)|<η，且 f(x₁),f(x₂)∈[-M,M]。由 g 的一致连续性得 |g(f(x₁))-g(f(x₂))|<ε。因此 g(f(x)) 在 (a,b) 上一致连续。
公式：|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |g(f(x_1))-g(f(x_2))|<\varepsilon
提示：注意两个一致连续性的衔接：f 的 δ 对应 g 的 η，g 的 η 对应最终的 ε。
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