哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）（1）设 $\displaystyle \mu=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，若 $\displaystyle x=s^{2}-t^{2}, y=2 s t$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} \mu}{\partial s \partial t}$ ．
（2）求二元函数
$$
f(x, y)=y^{3}-3 x^{2} y
$$
的极值点．
（3）求
$$
f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}
$$
在 $\displaystyle x y z=1$ 且 $\displaystyle x, y, z>0$ 条件下的极值．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：计算一阶偏导数
设 $\mu = f(x, y)$，其中 $x = s^2 - t^2$，$y = 2st$。由链式法则，先对 $s$ 求偏导：
$$\frac{\partial \mu}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial s} = f_x \cdot 2s + f_y \cdot 2t.$$
公式：链式法则：$\frac{\partial \mu}{\partial s} = f_x \frac{\partial x}{\partial s} + f_y \frac{\partial y}{\partial s}$
提示：注意 $f_x$ 和 $f_y$ 仍是 $x,y$ 的函数，后续求导时需再次使用链式法则。
步骤 2/9
目标：计算二阶混合偏导数
对 $\frac{\partial \mu}{\partial s}$ 再对 $t$ 求偏导：
$$\frac{\partial^2 \mu}{\partial t \partial s} = \frac{\partial}{\partial t}(2s f_x + 2t f_y) = 2s \frac{\partial f_x}{\partial t} + 2f_y + 2t \frac{\partial f_y}{\partial t}.$$
公式：乘积法则：$\frac{\partial}{\partial t}(2t f_y) = 2f_y + 2t \frac{\partial f_y}{\partial t}$
提示：注意 $2s$ 是常数，但 $f_x$ 依赖于 $t$，所以 $\frac{\partial}{\partial t}(2s f_x) = 2s \frac{\partial f_x}{\partial t}$。
步骤 3/9
目标：计算 $f_x$ 和 $f_y$ 对 $t$ 的偏导
利用链式法则：
$$\frac{\partial f_x}{\partial t} = f_{xx} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + f_{xy} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} = f_{xx} \cdot (-2t) + f_{xy} \cdot (2s),$$
$$\frac{\partial f_y}{\partial t} = f_{yx} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + f_{yy} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} = f_{yx} \cdot (-2t) + f_{yy} \cdot (2s).$$
公式：链式法则：$\frac{\partial f_x}{\partial t} = f_{xx} \frac{\partial x}{\partial t} + f_{xy} \frac{\partial y}{\partial t}$
提示：注意 $f_{xy}=f_{yx}$ 因为二阶连续偏导，后续可合并。
步骤 4/9
目标：代入并化简
代入得：
$$\frac{\partial^2 \mu}{\partial t \partial s} = 2s[-2t f_{xx} + 2s f_{xy}] + 2f_y + 2t[-2t f_{yx} + 2s f_{yy}] = -4st f_{xx} + 4s^2 f_{xy} + 2f_y - 4t^2 f_{yx} + 4st f_{yy}.$$
利用 $f_{xy}=f_{yx}$，合并得：
$$\frac{\partial^2 \mu}{\partial s \partial t} = -4st f_{xx} + 4(s^2 - t^2) f_{xy} + 4st f_{yy} + 2f_y.$$
公式：混合偏导结果：$\frac{\partial^2 \mu}{\partial s \partial t} = -4st f_{xx} + 4(s^2 - t^2) f_{xy} + 4st f_{yy} + 2f_y$
提示：注意 $\frac{\partial^2 \mu}{\partial s \partial t} = \frac{\partial^2 \mu}{\partial t \partial s}$，结果与求导顺序无关。
步骤 5/9
目标：求二元函数的驻点
对 $f(x,y)=y^3-3x^2y$ 求偏导：
$$f_x = -6xy, \quad f_y = 3y^2 - 3x^2.$$
令 $f_x=0$，$f_y=0$，得 $-6xy=0$ 且 $3y^2-3x^2=0$。由 $-6xy=0$ 得 $x=0$ 或 $y=0$。
若 $x=0$，则 $3y^2=0$，得 $y=0$；若 $y=0$，则 $-3x^2=0$，得 $x=0$。故驻点为 $(0,0)$。
公式：驻点条件：$f_x=0, f_y=0$
提示：注意解方程组时，要同时满足两个方程。
步骤 6/9
目标：判定驻点是否为极值点
计算二阶偏导：$f_{xx} = -6y$，$f_{yy}=6y$，$f_{xy}=-6x$。在 $(0,0)$ 处，$A=f_{xx}=0$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=0$，判别式 $AC-B^2=0$，无法直接判定。
考虑沿路径 $y=x$，$f(x,x)=x^3-3x^3=-2x^3$，当 $x>0$ 时 $f<0$，$x<0$ 时 $f>0$；沿路径 $y=-x$，$f(x,-x)=-x^3-3x^2(-x)=-x^3+3x^3=2x^3$，符号变化。故 $(0,0)$ 不是极值点。因此，函数无极值点。
公式：二阶判别法：$AC-B^2$，若为0则需其他方法
提示：当判别式为0时，需用定义或特殊路径判断。
步骤 7/9
目标：建立拉格朗日函数并求偏导
求 $f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4$ 在 $xyz=1$，$x,y,z>0$ 下的极值。设拉格朗日函数 $L=x^4+y^4+z^4+\lambda(xyz-1)$。
求偏导：
$$L_x = 4x^3 + \lambda yz = 0, \quad L_y = 4y^3 + \lambda xz = 0, \quad L_z = 4z^3 + \lambda xy = 0,$$
$$L_\lambda = xyz - 1 = 0.$$
公式：拉格朗日乘数法：$L = f + \lambda g$，$\nabla L = 0$
提示：注意约束条件 $xyz=1$ 也要作为方程。
步骤 8/9
目标：解方程组得驻点
由前三个方程得 $4x^3 = -\lambda yz$，$4y^3 = -\lambda xz$，$4z^3 = -\lambda xy$。相乘得 $64 x^3 y^3 z^3 = -\lambda^3 x^2 y^2 z^2$，即 $64 (xyz)^3 = -\lambda^3 (xyz)^2$。代入 $xyz=1$ 得 $64 = -\lambda^3$，故 $\lambda = -4$。
代入第一个方程：$4x^3 = 4 yz$，即 $x^3 = yz$。同理 $y^3 = xz$，$z^3 = xy$。由 $x^3 = yz$ 和 $xyz=1$ 得 $x^3 = yz = \frac{1}{x}$，所以 $x^4=1$，$x=1$（正数）。同理 $y=1$，$z=1$。故驻点 $(1,1,1)$。
公式：由 $x^3=yz$ 和 $xyz=1$ 得 $x^4=1$
提示：注意 $x,y,z>0$，所以取正根。
步骤 9/9
目标：判断极值并给出结果
由约束条件，当 $x\to 0^+$ 时，$y,z\to +\infty$，$f\to +\infty$；当 $x\to +\infty$ 时，$y,z\to 0^+$，$f\to +\infty$。故 $(1,1,1)$ 为极小值点，极小值为 $f(1,1,1)=3$。
公式：边界分析：当变量趋于边界时函数值趋于无穷大
提示：注意检查边界情况，确保驻点是极值点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。