哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二次连续可微，证明 $\displaystyle f(x)$ 为次数不超过二次多项式的充要条件是：对于任意的 $\displaystyle x, h$有等式
$$
f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与符号，明确已知条件和待证结论
已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上二次连续可微（即 $f \in C^2(\mathbb{R})$）。要证明充要条件：对于任意 $x, h \in \mathbb{R}$，有等式 $$f(x+h)-f(x)=h f'\left(x+\frac{h}{2}\right)$$ 成立。记该等式为 $(*)$。
公式：f(x+h)-f(x)=h f'\left(x+\frac{h}{2}\right)
提示：注意 $f$ 二次连续可微意味着 $f''$ 存在且连续，但三阶导数不一定存在，后续推导中要避免使用 $f'''$。
步骤 2/6
目标：必要性证明：若 $f$ 是次数不超过2的多项式，则等式成立
设 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 为常数。则 $f'(x)=2ax+b$。计算左边：$$f(x+h)-f(x)=a[(x+h)^2-x^2]+b[(x+h)-x]=a(2xh+h^2)+bh$$ 计算右边：$$h f'\left(x+\frac{h}{2}\right)=h\left[2a\left(x+\frac{h}{2}\right)+b\right]=h(2ax+ah+b)=2axh+ah^2+bh$$ 左右两边相等，必要性得证。
公式：f(x+h)-f(x)=a(2xh+h^2)+bh = 2axh+ah^2+bh = h f'\left(x+\frac{h}{2}\right)
提示：直接代入二次多项式形式验证即可，注意展开时不要漏项。
步骤 3/6
目标：充分性证明第一步：对等式两边关于 $h$ 求导
固定 $x$，将等式 $(*)$ 两边对 $h$ 求导。左边导数为 $f'(x+h)$。右边是乘积形式，导数为：$$\frac{d}{dh}\left[h f'\left(x+\frac{h}{2}\right)\right] = f'\left(x+\frac{h}{2}\right) + h \cdot f''\left(x+\frac{h}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$$ 因此得到：$$f'(x+h) = f'\left(x+\frac{h}{2}\right) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right) \quad (1)$$
公式：f'(x+h) = f'\left(x+\frac{h}{2}\right) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right)
提示：求导时注意复合函数求导法则，$f'\left(x+\frac{h}{2}\right)$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{1}{2}f''\left(x+\frac{h}{2}\right)$。
步骤 4/6
目标：充分性证明第二步：利用对称性构造二阶差分形式
在等式 $(*)$ 中将 $h$ 替换为 $-h$，得到：$$f(x-h)-f(x) = -h f'\left(x-\frac{h}{2}\right) \quad (2)$$ 将 $(*)$ 与 $(2)$ 相加，消去 $f(x)$ 项：$$f(x+h)+f(x-h)-2f(x) = h\left[f'\left(x+\frac{h}{2}\right)-f'\left(x-\frac{h}{2}\right)\right]$$ 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x-\frac{h}{2}$ 与 $x+\frac{h}{2}$ 之间，使得：$$f'\left(x+\frac{h}{2}\right)-f'\left(x-\frac{h}{2}\right) = h f''(\xi)$$ 代入得：$$f(x+h)+f(x-h)-2f(x) = h^2 f''(\xi) \quad (3)$$
公式：f(x+h)+f(x-h)-2f(x) = h^2 f''(\xi)
提示：这里 $\xi$ 依赖于 $x$ 和 $h$，但由 $f''$ 的连续性，当 $h \to 0$ 时 $\xi \to x$。
步骤 5/6
目标：充分性证明第三步：证明 $f''$ 为常数
在等式 $(1)$ 中，将 $h$ 替换为 $2h$，得到：$$f'(x+2h) = f'(x+h) + h f''(x+h) \quad (4)$$ 又在 $(1)$ 中，将 $h$ 替换为 $\frac{h}{2}$，得到：$$f'\left(x+\frac{h}{2}\right) = f'(x) + \frac{h}{4} f''\left(x+\frac{h}{4}\right) \quad (5)$$ 将 $(5)$ 代入 $(1)$ 得：$$f'(x+h) = f'(x) + \frac{h}{4} f''\left(x+\frac{h}{4}\right) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right) \quad (6)$$ 再将 $(6)$ 中的 $h$ 换成 $2h$：$$f'(x+2h) = f'(x) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right) + h f''(x+h) \quad (7)$$ 比较 $(4)$ 和 $(7)$，两式左边相等，因此右边也相等：$$f'(x+h) + h f''(x+h) = f'(x) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right) + h f''(x+h)$$ 化简得：$$f'(x+h) = f'(x) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right)$$ 但由 $(1)$ 知 $f'(x+h) = f'\left(x+\frac{h}{2}\right) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right)$，代入上式得：$$f'\left(x+\frac{h}{2}\right) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right) = f'(x) + \frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right)$$ 消去 $\frac{h}{2} f''\left(x+\frac{h}{2}\right)$，得到：$$f'\left(x+\frac{h}{2}\right) = f'(x) \quad \forall x, h$$ 这意味着 $f'$ 是常数函数，因此 $f$ 是一次函数，即次数不超过1的多项式，当然也满足次数不超过2。
公式：f'\left(x+\frac{h}{2}\right) = f'(x) \Rightarrow f' \text{为常数}
提示：这一步的关键是通过比较不同形式的表达式，消去含 $f''$ 的项，从而得到 $f'$ 为常数的结论。注意推导中 $h$ 是任意实数，因此 $f'$ 处处相等。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
必要性：若 $f$ 是次数不超过2的多项式，则直接验证等式成立。充分性：由等式出发，通过求导和代数变换，推出 $f'$ 为常数，从而 $f$ 是一次函数（次数不超过1），自然也是次数不超过2的多项式。因此，原命题得证。
公式：f(x+h)-f(x)=h f'\left(x+\frac{h}{2}\right) \iff f \text{是次数不超过2的多项式}
提示：充分性证明中，我们实际上得到了更强的结论：满足等式的函数必然是一次函数，但题目只要求次数不超过2，所以结论成立。
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