哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 为单调上升趋于无穷的正数列，证
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}^{x} a_{n+1}}
$$
并求 $\displaystyle f(x)$ 的定义域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解级数结构并分析通项性质
给定单调上升趋于无穷的正数列 $\{a_n\}$，即 $a_{n+1} > a_n > 0$ 且 $\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$。级数通项为 $\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^x a_{n+1}}$。注意到分子是相邻项的差，分母包含 $a_n^x$ 和 $a_{n+1}$，这提示我们可能利用裂项相消或积分比较法。
公式：$$\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^x a_{n+1}}$$
提示：注意 $a_n$ 是正数且严格递增，这保证了分母不为零，且差值恒正。
步骤 2/5
目标：考察特殊情形 x=1 以获取收敛线索
当 $x=1$ 时，通项化为 $\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}}$。这是一个裂项相消级数，其部分和为 $S_N = \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{N+1}}$。由于 $a_{N+1} \to \infty$，故 $\lim_{N\to\infty} S_N = \frac{1}{a_1}$，级数收敛。这表明 $x=1$ 在定义域内。
公式：$$\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}}$$
提示：裂项相消是处理含差分级数的常用技巧，注意验证部分和极限存在。
步骤 3/5
目标：利用积分比较法分析 x>0 时的收敛性
由于 $a_{n+1} > a_n$，有 $\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^x a_{n+1}} \le \frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^{x+1}}$。考虑函数 $g(t)=t^{-(x+1)}$ 在 $[a_n, a_{n+1}]$ 上的积分，因 $g(t)$ 递减，左端点取最大值，故 $\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^{x+1}} \le \int_{a_n}^{a_{n+1}} t^{-(x+1)} dt$。从而级数被积分 $\int_{a_1}^{\infty} t^{-(x+1)} dt$ 控制，该积分当 $x+1 > 1$ 即 $x > 0$ 时收敛。因此当 $x > 0$ 时原级数收敛。
公式：$$\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^x a_{n+1}} \le \frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^{x+1}} \le \int_{a_n}^{a_{n+1}} t^{-(x+1)} dt$$
提示：积分比较法需要单调函数，这里 $t^{-(x+1)}$ 在 $t>0$ 时递减，适合用于上界估计。
步骤 4/5
目标：利用积分比较法分析 x≤0 时的发散性
当 $x \le 0$ 时，有 $\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^x a_{n+1}} \ge \frac{a_{n+1} - a_n}{a_{n+1}^{x+1}}$。同样考虑 $g(t)=t^{-(x+1)}$，因函数递减，右端点取最小值，故 $\frac{a_{n+1} - a_n}{a_{n+1}^{x+1}} \ge \int_{a_n}^{a_{n+1}} t^{-(x+1)} dt$。于是原级数大于等于积分 $\int_{a_1}^{\infty} t^{-(x+1)} dt$。当 $x+1 \le 1$ 即 $x \le 0$ 时，该积分发散，故原级数发散。特别地，$x=0$ 时通项为 $\frac{a_{n+1} - a_n}{a_{n+1}}$，取 $a_n = n$ 则通项 $\sim \frac{1}{n+1}$，发散。
公式：$$\frac{a_{n+1} - a_n}{a_n^x a_{n+1}} \ge \frac{a_{n+1} - a_n}{a_{n+1}^{x+1}} \ge \int_{a_n}^{a_{n+1}} t^{-(x+1)} dt$$
提示：下界估计时注意不等式方向，积分发散则原级数必发散。
步骤 5/5
目标：综合收敛性结论并确定定义域
由以上分析，当 $x > 0$ 时级数收敛，当 $x \le 0$ 时级数发散。因此函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$。题目中“证 $f(x)=...$”即证明该级数在 $x>0$ 时定义了一个函数，并求出其定义域。
公式：$$\text{定义域} = (0, +\infty)$$
提示：注意边界 $x=0$ 发散，因此定义域是开区间。
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