哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，按提示三种方法证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle f(\xi)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)>0(\xi<x \leqslant b)$ ．
（1）确界定理；
（2）区间套定理；
（3）有限覆盖定理；
（4）其他方法．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确界定理法：构造集合S并求上确界
令 $S = \{ x \in [a, b] \mid f(x) \leq 0 \}$。由于 $f(a) < 0$，故 $a \in S$，$S$ 非空且有上界 $b$，因此 $S$ 有上确界 $\xi = \sup S$。显然 $\xi \in [a, b]$。
提示：注意上确界可能等于b，但由f(b)>0可排除。
步骤 2/8
目标：确界定理法：证明f(ξ)=0
若 $f(\xi) < 0$，由连续性，存在 $\delta > 0$ 使得在 $(\xi - \delta, \xi + \delta)$ 内 $f(x) < 0$，则 $\xi + \delta/2 \in S$，与 $\xi$ 是上确界矛盾。若 $f(\xi) > 0$，则存在 $\delta > 0$ 使得在 $(\xi - \delta, \xi + \delta)$ 内 $f(x) > 0$，则 $\xi - \delta/2$ 是 $S$ 的上界，与 $\xi$ 是上确界矛盾。故 $f(\xi)=0$。
提示：利用连续函数的局部保号性。
步骤 3/8
目标：确界定理法：证明f(x)>0对ξ
对任意 $x > \xi$，若 $x \leq b$，则 $x \notin S$，故 $f(x) > 0$。因此 $f(x) > 0$ 对 $\xi < x \leq b$ 成立。
提示：注意S的定义是f(x)≤0的点集。
步骤 4/8
目标：区间套定理法：构造区间套
构造区间套 $[a_n, b_n]$ 如下：令 $a_1 = a, b_1 = b$。取中点 $c_1 = (a_1+b_1)/2$。若 $f(c_1)=0$，则取 $\xi = c_1$ 即得。若 $f(c_1) < 0$，则令 $a_2 = c_1, b_2 = b_1$；若 $f(c_1) > 0$，则令 $a_2 = a_1, b_2 = c_1$。如此继续，得到区间套 $[a_n, b_n]$ 满足 $f(a_n) < 0, f(b_n) > 0$，且长度趋于0。
提示：确保每次区间长度减半。
步骤 5/8
目标：区间套定理法：证明f(ξ)=0
由区间套定理，存在唯一的 $\xi \in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n]$。由连续性，$f(\xi) = \lim f(a_n) \leq 0$ 且 $f(\xi) = \lim f(b_n) \geq 0$，故 $f(\xi)=0$。
提示：注意极限的保号性。
步骤 6/8
目标：区间套定理法：证明f(x)>0对ξ
对任意 $x > \xi$，若 $x \leq b$，则存在某个 $n$ 使得 $x > b_n$（否则 $x \leq \xi$），但 $f(b_n) > 0$，且由连续性，在 $(\xi, b]$ 上 $f(x) > 0$（否则若存在 $x_0 > \xi$ 使 $f(x_0) \leq 0$，则类似二分法可得另一零点，矛盾）。
提示：利用反证法，假设存在x0>ξ使f(x0)≤0，则二分法会得到另一个零点，与ξ的唯一性矛盾。
步骤 7/8
目标：有限覆盖定理法：反证法构造开覆盖
假设不存在这样的 $\xi$，即对任意 $x \in (a, b)$，若 $f(x)=0$，则存在 $x' > x$ 使得 $f(x') \leq 0$。定义开区间族：对每个 $x \in [a, b]$，若 $f(x) < 0$，则存在开区间 $I_x = (x - \delta_x, x + \delta_x)$ 使得在其上 $f < 0$；若 $f(x) > 0$，则存在开区间 $J_x = (x - \delta_x, x + \delta_x)$ 使得在其上 $f > 0$；若 $f(x)=0$，则存在 $x' > x$ 使 $f(x') \leq 0$，取开区间 $K_x = (x - \delta_x, x' + \delta_{x'})$ 覆盖 $[x, x']$ 且包含正负值。这些开区间覆盖 $[a, b]$。
提示：注意零点处的处理：取一个包含右侧负值点的区间。
步骤 8/8
目标：有限覆盖定理法：导出矛盾
由有限覆盖定理，存在有限子覆盖。考虑这些区间端点，可导出矛盾（例如，从 $a$ 出发，每次只能走到 $f \leq 0$ 的区域，但 $b$ 处 $f>0$，矛盾）。因此假设不成立，存在 $\xi$ 使得 $f(\xi)=0$ 且之后 $f>0$。
提示：详细矛盾推导：设有限子覆盖为开区间族，从左到右排列，由于a点f<0，第一个区间内f<0，其右端点可能进入f>0区域，但由覆盖性质，下一个区间必须覆盖该点，但若该点f>0，则区间内f>0，无法覆盖后续负值点，最终无法到达b点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。