哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）（1）计算积分
$$
\int_{C}\left(\sin x-y \mathrm{e}^{x y}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y
$$
其中 $C$ 为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向逆时针．
（2）计算积分
$$
\iint_{S}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} s
$$
其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z \geqslant 0), \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲线的外法线的方向余弦．
（3）设 $S$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中具有光滑定向边界 $\displaystyle \partial S$ 的光滑定向曲面，$S$ 与 $\displaystyle \partial S$ 的定向满足右手规则，假设 $\displaystyle f, g$ 在包含 $S$的区域中分别满足偏导数连续和二阶偏导数连续。证明
$$
\int_{\partial S} f \nabla g \overrightarrow{\mathrm{~d} s}=\iint_{S} \nabla f \times g \vec{n} \mathrm{~d} s
$$
其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位法向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别曲线积分类型并应用格林公式
给定曲线积分 $\int_C P\,dx+Q\,dy$，其中 $P=\sin x - y e^{xy}+y$，$Q=x^2 - x e^{xy}+\ln(1+y^4)$。由于曲线 $C$ 是封闭的（单位圆逆时针），考虑使用格林公式：$\int_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$，其中 $D$ 是 $C$ 所围区域（单位圆盘）。
公式：格林公式：$\int_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$
提示：注意曲线方向为逆时针，格林公式取正号。
步骤 2/7
目标：计算偏导数差
计算 $\frac{\partial P}{\partial y} = -e^{xy} - xy e^{xy} + 1$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - e^{xy} - xy e^{xy}$。则 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2x - e^{xy} - xy e^{xy}) - (-e^{xy} - xy e^{xy} + 1) = 2x - 1$。
提示：仔细求导，注意 $e^{xy}$ 的偏导。
步骤 3/7
目标：计算二重积分
由格林公式，$\int_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D (2x-1)\,dxdy$，其中 $D: x^2+y^2\leq 1$。将积分拆分为 $\iint_D 2x\,dxdy - \iint_D 1\,dxdy$。由对称性，$\iint_D x\,dxdy=0$，故第一项为0。第二项为 $-\text{Area}(D) = -\pi$。因此积分值为 $-\pi$。
公式：$\iint_D 1\,dxdy = \text{Area}(D)$
提示：利用对称性简化积分。
步骤 4/7
目标：识别曲面积分并考虑封闭性
曲面积分 $\iint_S (x^3\cos\alpha + y^3\cos\beta + z^3\cos\gamma)\,dS$，其中 $S: x^2+y^2=z^2, z\geq 0$。曲面不封闭，需补上底面 $S_2: z=1, x^2+y^2\leq 1$（方向向下）构成封闭曲面，然后应用高斯公式。设 $V$ 为锥体 $0\leq z\leq 1, x^2+y^2\leq z^2$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_V \nabla\cdot\vec{F}\,dV$
提示：注意曲面方向：锥面外侧法线指向远离z轴，底面法线向下。
步骤 5/7
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
令 $\vec{F}=(x^3, y^3, z^3)$，则 $\nabla\cdot\vec{F}=3x^2+3y^2+3z^2$。封闭曲面 $S\cup S_2$ 的外侧积分为 $\iiint_V 3(x^2+y^2+z^2)\,dV$。用柱坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z$，$0\leq\theta\leq 2\pi$，$0\leq z\leq 1$，$0\leq r\leq z$。计算三重积分：$3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 dz\int_0^z (r^2+z^2) r\,dr = 3\cdot 2\pi \int_0^1 \left[\frac{r^4}{4}+\frac{z^2 r^2}{2}\right]_0^z dz = 6\pi \int_0^1 \frac{3}{4}z^4 dz = \frac{9\pi}{10}$。
公式：柱坐标变换：$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
提示：积分限正确：r从0到z，z从0到1。
步骤 6/7
目标：计算底面积分并相减
底面 $S_2: z=1$，法向量向下，故 $\cos\alpha=0, \cos\beta=0, \cos\gamma=-1$。被积函数为 $x^3\cdot0+y^3\cdot0+z^3\cdot(-1) = -1$（因为 $z=1$）。所以 $\iint_{S_2} = \iint_{x^2+y^2\leq 1} (-1)\,dS = -\pi$。因此锥面 $S$ 的积分为 $\frac{9\pi}{10} - (-\pi) = \frac{19\pi}{10}$。
提示：注意底面法向方向与高斯公式中外侧一致。
步骤 7/7
目标：应用斯托克斯公式证明向量恒等式
要证明 $\int_{\partial S} f \nabla g \cdot \overrightarrow{ds} = \iint_S (\nabla f \times \nabla g) \cdot \vec{n}\,dS$。令 $\vec{F} = f \nabla g$，由斯托克斯公式：$\int_{\partial S} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F})\cdot \vec{n}\,dS$。计算旋度：$\nabla \times (f \nabla g) = \nabla f \times \nabla g + f \nabla \times (\nabla g) = \nabla f \times \nabla g$（因为梯度场旋度为0）。代入即得证。
公式：斯托克斯公式：$\int_{\partial S} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F})\cdot \vec{n}\,dS$
提示：注意 $\overrightarrow{ds}$ 表示有向线元，即 $d\vec{r}$。
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