哈尔滨工业大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：存在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得
$$
\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow 0} \int_{a}^{c} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x, \forall c \in[a, b]
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确证明目标
题目要求：对于在 $[a,b]$ 上可积的函数 $f(x)$，需要构造一个连续函数列 $\{\varphi_n(x)\}$，使得对任意 $c \in [a,b]$，都有 $\int_a^c f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \int_a^c \varphi_n(x) \, dx$。注意这里的极限是对 $n$ 取的，且 $\varphi_n$ 必须连续。
公式：\int_a^c f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \int_a^c \varphi_n(x) \, dx, \quad \forall c \in [a,b]
提示：注意极限变量是 $n$，而不是 $c$，且 $\varphi_n$ 的连续性要求不能忽略。
步骤 2/5
目标：引入不定积分并分析连续性
定义 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$。由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积（黎曼可积），$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。我们的目标是找到连续函数列 $\{\varphi_n\}$，使得它们的原函数一致收敛到 $F$，从而对每个 $c$ 有 $\int_a^c \varphi_n(x) \, dx \to F(c)$。
公式：F(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad F \in C[a,b]
提示：可积函数的不定积分一定连续，这是分析中的基本性质。
步骤 3/5
目标：利用L¹逼近构造连续函数列
因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，它在 $L^1[a,b]$ 中，而连续函数在 $L^1$ 中稠密。因此存在连续函数列 $\{\varphi_n\}$，使得 $\lim_{n \to \infty} \int_a^b |f(x) - \varphi_n(x)| \, dx = 0$。这是构造的关键一步。
公式：\lim_{n \to \infty} \int_a^b |f(x) - \varphi_n(x)| \, dx = 0
提示：这里利用了实分析中连续函数在 $L^1$ 空间稠密的结论，也可用分段线性函数逼近阶梯函数来具体构造。
步骤 4/5
目标：验证积分收敛性
对任意 $c \in [a,b]$，利用积分的绝对连续性，有：
$$
\left| \int_a^c f(x) \, dx - \int_a^c \varphi_n(x) \, dx \right|
\leq \int_a^c |f(x) - \varphi_n(x)| \, dx
\leq \int_a^b |f(x) - \varphi_n(x)| \, dx \to 0 \quad (n \to \infty).
$$
因此 $\int_a^c \varphi_n(x) \, dx \to \int_a^c f(x) \, dx$ 对每个 $c$ 成立。
公式：\left| \int_a^c f - \int_a^c \varphi_n \right| \leq \int_a^b |f - \varphi_n| \to 0
提示：注意不等式放缩时，积分区间从 $[a,c]$ 放大到 $[a,b]$ 是允许的，因为被积函数非负。
步骤 5/5
目标：总结证明
由上述构造和验证，我们找到了满足条件的连续函数列 $\{\varphi_n\}$，使得对任意 $c \in [a,b]$，$\int_a^c \varphi_n(x) \, dx$ 收敛到 $\int_a^c f(x) \, dx$。证明完成。
公式：\exists \{\varphi_n\} \subset C[a,b] \text{ 使得 } \forall c \in [a,b], \; \int_a^c f = \lim_{n\to\infty} \int_a^c \varphi_n
提示：本题的关键是利用 $L^1$ 逼近，而不是逐点逼近，因为逐点逼近不一定保证积分收敛。
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