哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题

考虑 $\cos\frac{2n\pi}{3}$ 的取值。由于 $\frac{2\pi}{3}$ 的周期为 $3$，计算 $n=1,2,3$ 得：$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$，$\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$，$\cos 2\pi=1$。因此： $$ \cos\frac{2n\pi}{3} = \begin{cases} -\frac12, & n\equiv 1,2 \pmod{3} \\ 1, & n\equiv 0 \pmod{3} \end{cases} $$

设 $n=3k$，$n=3k+1$，$n=3k+2$，其中 $k\ge 0$ 整数。 - 当 $n=3k$ 时：$x_{3k} = \frac{3k-1}{3k+1} \cdot 1 = 1 - \frac{2}{3k+1}$ - 当 $n=3k+1$ 时：$x_{3k+1} = \frac{3k}{3k+2} \cdot \left(-\frac12\right) = -\frac{3k}{2(3k+2)}$ - 当 $n=3k+2$ 时：$x_{3k+2} = \frac{3k+1}{3k+3} \cdot \left(-\frac12\right) = -\frac{3k+1}{2(3k+3)}$

观察三个表达式：$x_{3k}$ 为正且随 $k$ 增大单调递增趋近于1，但始终小于1；$x_{3k+1}$ 和 $x_{3k+2}$ 均为负数且绝对值小于 $\frac12$。因此数列的最大值出现在 $n=3k$ 时，且上确界为1。

首先，对所有 $n$，$x_n<1$（因为 $x_{3k}<1$，其他项更小）。其次，对任意 $\varepsilon>0$，取 $k$ 足够大使得 $\frac{2}{3k+1}<\varepsilon$，则 $x_{3k}=1-\frac{2}{3k+1}>1-\varepsilon$。因此1是数列的最小上界，即 $\sup\{x_n\}=1$。

设 $A=\{f(x):x\in(a,b)\}$，则 $\{-f(x)\} = -A = \{-a:a\in A\}$。 - 对任意 $a\in A$，有 $a\ge\inf A$，故 $-a\le -\inf A$，所以 $-\inf A$ 是 $-A$ 的一个上界，从而 $\sup(-A)\le -\inf A$。 - 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $a\in A$ 使得 $a<\inf A+\varepsilon$，则 $-a > -\inf A -\varepsilon$，说明 $-\inf A$ 是 $-A$ 的最小上界，故 $\sup(-A) = -\inf A$。

数列 $a_n = \frac{1+(-1)^n}{2}$。当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n=-1$，$a_n=0$；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n=1$，$a_n=1$。因此数列为 $0,1,0,1,\dots$。

上极限定义为所有子列极限的最大值。数列只有两个聚点：0和1。偶数项子列 $a_{2k}=1$ 极限为1，奇数项子列 $a_{2k+1}=0$ 极限为0。因此上极限为1。 证明：存在子列极限为1，故上极限 $\ge 1$；所有项 $\le 1$，故任何子列极限 $\le 1$，从而上极限 $\le 1$。综上，$\varlimsup_{n\to\infty} a_n = 1$。