哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）用提示的三种方法证明 $\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的极限趋于无穷．
（1）反证法；
（2）柯西收敛原理；
（3）单调数列；
（4）正项级数收敛判别；
（5）其他方法．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入数列并说明单调递增
设 $S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}$，显然 $S_{n+1} = S_n + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > S_n$，故 $\{S_n\}$ 严格单调递增。
提示：注意数列单调递增，但递增不一定发散到无穷，还需证明无界。
步骤 2/6
目标：反证法：假设收敛导出矛盾
假设 $\{S_n\}$ 收敛，则存在极限 $L$。由于 $S_n$ 严格递增，有 $L > S_n$ 对所有 $n$ 成立。考虑 $S_{2n} - S_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}}$。因为每一项 $\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{2n}}$（当 $k \leq 2n$），所以 $S_{2n} - S_n \geq n \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}} \to \infty$，这与收敛数列的柯西条件（$S_{2n} - S_n \to 0$）矛盾。故假设不成立，$S_n$ 发散。
公式：$S_{2n} - S_n \geq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}$
提示：注意放缩时，分母取最大值 $\sqrt{2n}$ 得到下界，确保不等式方向正确。
步骤 3/6
目标：柯西收敛原理：直接验证柯西条件不成立
若 $\{S_n\}$ 收敛，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $m > n > N$ 时，$|S_m - S_n| < \varepsilon$。取 $m = 2n$，则 $S_{2n} - S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{\sqrt{k}} \geq n \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}$。当 $n$ 充分大时，$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}} > 1$，取 $\varepsilon = 1$，则存在任意大的 $n$ 使得 $S_{2n} - S_n \geq 1$，与柯西条件矛盾。故 $S_n$ 发散。
公式：$S_{2n} - S_n \geq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}$
提示：柯西条件要求对任意 $\varepsilon$ 成立，只需找到一个 $\varepsilon$ 不满足即可。
步骤 4/6
目标：单调数列法：证明无界
$S_n$ 单调递增，若它有上界则收敛。考虑子列 $S_{n^2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{n}$。由于 $\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{n}$ 当 $k \leq n^2$ 时，但更精确地，$S_{n^2} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$（因为 $\frac{1}{\sqrt{k^2}} = \frac{1}{k}$，且 $S_{n^2}$ 包含所有 $\frac{1}{k}$ 项）。调和级数 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ 发散，故 $S_{n^2}$ 无界，从而 $S_n$ 无界。单调递增无界数列发散到无穷。
公式：$S_{n^2} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$
提示：注意子列的选择：$S_{n^2}$ 包含所有 $\frac{1}{k}$ 项，因为 $\sqrt{k^2}=k$。
步骤 5/6
目标：正项级数收敛判别法：p级数判别
考虑正项级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$，其通项 $a_n = \frac{1}{n^{1/2}}$。由 $p$ 级数判别法，当 $p \leq 1$ 时级数发散，这里 $p = \frac{1}{2} \leq 1$，故级数发散，即部分和 $S_n \to \infty$。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 收敛当且仅当 $p > 1$
提示：注意 $p$ 级数中 $p$ 是分母的指数，不要混淆。
步骤 6/6
目标：积分判别法：比较积分与级数
函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $[1, \infty)$ 上单调递减非负，则级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$ 与反常积分 $\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 同敛散。计算积分：$\int_1^\infty x^{-1/2} dx = \lim_{b \to \infty} 2\sqrt{x} \big|_1^b = \infty$，故积分发散，从而级数发散，$S_n \to \infty$。
公式：$\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \infty$
提示：积分判别法要求函数单调递减，且积分与级数同敛散。注意积分下限从1开始。
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