哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
三．（20 分）$\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界吗？若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界吗？证明你的结论．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析第一个问题：若f无界，则f'是否无界？
考虑函数$f(x)$在有限区间$(a,b)$内可微且无界。假设$f'(x)$有界，即存在$M>0$使得$|f'(x)|\leq M$对所有$x\in(a,b)$成立。由拉格朗日中值定理，对任意$x,y\in(a,b)$，存在$\xi$介于$x,y$之间，使得$|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)||x-y|\leq M|x-y|$。因此$f$在$(a,b)$上满足Lipschitz条件，从而一致连续。
公式：|f(x)-f(y)| = |f'(\xi)||x-y|
提示：注意拉格朗日中值定理的应用条件：函数在闭区间上连续，开区间内可导。
步骤 2/6
目标：利用一致连续性推出有界性
由于$(a,b)$是有限区间，一致连续的函数可以连续延拓到闭区间$[a,b]$，故$f$在$[a,b]$上有界，从而在$(a,b)$内有界，与$f$无界矛盾。因此假设不成立，$f'(x)$在$(a,b)$内无界。
提示：一致连续函数在有限区间上必有界，这是关键点。
步骤 3/6
目标：给出第一个问题的结论
所以，若$f(x)$在有限区间$(a,b)$内可微且无界，则$f'(x)$在$(a,b)$内无界。
步骤 4/6
目标：分析第二个问题：若f'无界，则f是否无界？
考虑反例：函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$在区间$(0,1)$上。$f(x)$可微，且$f'(x)=-\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}$。当$x\to0^+$时，$\frac{1}{x^2}\to+\infty$，而$\cos\frac{1}{x}$在$[-1,1]$内震荡，因此$f'(x)$无界。但$|f(x)|\leq1$，故$f(x)$有界。
公式：f'(x) = -\frac{1}{x^2}\cos\frac{1}{x}
提示：注意反例需要满足可微条件，且导数无界但函数有界。
步骤 5/6
目标：给出第二个问题的结论
因此，若$f'(x)$在$(a,b)$内无界，则$f(x)$在$(a,b)$内不一定无界。
步骤 6/6
目标：总结两个问题的答案
第一个问题的答案是肯定的：若$f$无界，则$f'$无界。第二个问题的答案是否定的：$f'$无界不能推出$f$无界。
提示：注意区分充分性和必要性。
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