哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
九．（20分）（1）求
$$
\iint_{Z} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle Z: z=\mathrm{e}^{y}$ 绕 $z$ 轴旋转而得．
（2）求
$$
\int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z
$$
其中 $L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去，方向为逆时针．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解第一题中的曲面与积分形式
题目中的曲面积分是第二类曲面积分：
\[
\iint_{Z} 2(1-x^{2}) \, dy\, dz - 8xy \, dz\, dx + 4xz \, dx\, dy
\]
其中曲面 $Z$ 是由曲线 $z = e^{y}$ 绕 $z$ 轴旋转得到的。旋转曲面方程为 $z = e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$，该曲面开口向上，顶点在 $(0,0,1)$。
公式：旋转曲面方程：$z = e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
提示：注意旋转曲面的形成：曲线在 $yOz$ 平面内，绕 $z$ 轴旋转，距离 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 替换 $|y|$。
步骤 2/6
目标：应用高斯公式计算第一题
将曲面积分写为 $\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$，其中 $P = 2(1-x^{2})$，$Q = -8xy$，$R = 4xz$。计算散度：
\[
\frac{\partial P}{\partial x} = -4x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -8x,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 4x
\]
散度和为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = -4x - 8x + 4x = -8x$。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = -8x$
提示：散度计算要仔细，注意 $P$ 对 $x$ 求导时 $x^2$ 的系数。
步骤 3/6
目标：构造封闭曲面并利用对称性
为了使用高斯公式，在曲面 $Z$ 上添加一个水平盖子 $z = H$（$H$ 足够大），形成封闭区域。由于散度 $-8x$ 是 $x$ 的奇函数，且区域关于 $x=0$ 对称，三重积分为零。盖子上的积分：法向量向上，只有 $dx\,dy$ 项，被积函数 $4xz$ 在 $z=H$ 处为 $4xH$，在圆盘区域上对 $x$ 为奇函数，积分也为零。因此原曲面积分为 $0$。
公式：$\iiint_V (-8x)\,dV = 0$，盖子积分 $\iint_{D} 4xH\,dx\,dy = 0$
提示：对称性简化计算：奇函数在对称区域积分为零。盖子方向要与封闭曲面外法向一致。
步骤 4/6
目标：理解第二题中的曲线与方向
曲线 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，是一个半径为 $a$ 的圆（因为平面过球心）。从 $x$ 轴正向看去，方向为逆时针。使用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分。
公式：曲线 $L$ 是半径为 $a$ 的圆，位于平面 $x+y+z=0$ 上。
提示：确定方向时，右手定则：拇指指向法向量，四指指向曲线方向。从 $x$ 轴正向看逆时针，对应法向量指向 $x$ 正向。
步骤 5/6
目标：计算旋度并应用斯托克斯公式
设向量场 $\mathbf{F} = (y, z, x)$，计算旋度：
\[
\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\partial_x & \partial_y & \partial_z \\
y & z & x
\end{vmatrix} = (-1, -1, -1)
\]
取曲面 $S$ 为平面 $x+y+z=0$ 上被球面截下的圆盘，法向量取 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$（指向 $x$ 正向）。由斯托克斯公式：
\[
\int_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_S \left(-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) dS = -\sqrt{3} \iint_S dS
\]
公式：$\nabla \times \mathbf{F} = (-1,-1,-1)$，$\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$
提示：旋度计算要准确，注意行列式展开的符号。法向量方向要与曲线方向匹配。
步骤 6/6
目标：计算曲面积分得到最终结果
圆盘 $S$ 的半径为 $a$（因为球心到平面距离为0，截面是半径为 $a$ 的圆），面积为 $\pi a^{2}$。因此：
\[
\int_L y\,dx + z\,dy + x\,dz = -\sqrt{3} \cdot \pi a^{2}
\]
公式：$\iint_S dS = \pi a^{2}$，结果 $= -\sqrt{3}\pi a^{2}$
提示：注意球心到平面的距离公式：$d = \frac{|0+0+0|}{\sqrt{3}} = 0$，所以截面是最大圆。
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