哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）$\displaystyle f(x), g(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续吗？若 $\displaystyle (a, b)$ 是无穷区间呢？证明你的结论．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析有限区间情形
在有限区间 $(a, b)$ 上，由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 一致连续，则它们有界。设 $|f(x)| \leq M$, $|g(x)| \leq N$ 对所有 $x \in (a, b)$ 成立。
提示：一致连续函数在有限区间上必有界，这是关键性质。
步骤 2/7
目标：利用一致连续性定义
对任意 $\varepsilon > 0$，由 $f$ 一致连续，存在 $\delta_1 > 0$ 使得当 $|x - y| < \delta_1$ 时，$|f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{2N}$；由 $g$ 一致连续，存在 $\delta_2 > 0$ 使得当 $|x - y| < \delta_2$ 时，$|g(x) - g(y)| < \frac{\varepsilon}{2M}$。取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$。
提示：注意分母中的 $M$ 和 $N$ 是上界，不能为零，但若为零则乘积恒为零，结论平凡。
步骤 3/7
目标：估计乘积的差
当 $|x - y| < \delta$ 时，有
\[
\begin{aligned}
|f(x)g(x) - f(y)g(y)| &\leq |f(x)g(x) - f(x)g(y)| + |f(x)g(y) - f(y)g(y)| \\
&\leq |f(x)| \cdot |g(x) - g(y)| + |g(y)| \cdot |f(x) - f(y)| \\
&\leq M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + N \cdot \frac{\varepsilon}{2N} = \varepsilon.
\end{aligned}
\]
公式：三角不等式：$|ab - cd| \leq |a||b-d| + |d||a-c|$
提示：注意拆分技巧，将乘积差转化为两项之和。
步骤 4/7
目标：得出有限区间结论
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得当 $|x - y| < \delta$ 时，$|f(x)g(x) - f(y)g(y)| < \varepsilon$，故 $f(x)g(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。
提示：结论成立依赖于区间有限导致的有界性。
步骤 5/7
目标：分析无穷区间情形
在无穷区间上，一致连续函数不一定有界，因此乘积可能不一致连续。考虑反例：$f(x) = g(x) = x$ 在 $\mathbb{R}$ 上。$f(x)=x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续（取 $\delta = \varepsilon$），但 $f(x)g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
提示：注意 $f(x)=x$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，因为它是 Lipschitz 连续的。
步骤 6/7
目标：验证反例的不一致连续性
取 $x_n = n$, $y_n = n + \frac{1}{n}$，则 $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$，但 $|x_n^2 - y_n^2| = |(n+\frac{1}{n})^2 - n^2| = 2 + \frac{1}{n^2} \to 2$，不趋于 0。因此 $x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
提示：构造反例时，通常选取两个趋于无穷的点列，使其距离趋于0但函数值差趋于非零常数。
步骤 7/7
目标：总结结论
在有限区间 $(a, b)$ 上，$f(x)g(x)$ 一致连续；在无穷区间上，$f(x)g(x)$ 不一定一致连续。
提示：注意区分有限与无穷区间的性质差异。
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