哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle \lambda>0,0<\alpha<\beta$ ，则存在 $\displaystyle |\theta|<1$ ，使成立
$$
\alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\mathrm{e}^{-\lambda x}}{x} \cos x \mathrm{~d} x=2 \theta .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用三角不等式进行初步放缩
由于 $|\cos x| \leq 1$，对积分取绝对值可得：
$$
\left| \alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{e^{-\lambda x}}{x} \cos x \, dx \right| \leq \alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{e^{-\lambda x}}{x} \, dx.
$$
公式：$\left| \alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{e^{-\lambda x}}{x} \cos x \, dx \right| \leq \alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{e^{-\lambda x}}{x} \, dx$
提示：注意 $\cos x$ 的绝对值放缩是常用的第一步，但可能放缩过宽，后续需要更精细的处理。
步骤 2/5
目标：应用第二积分中值定理
令 $f(x) = \frac{e^{-\lambda x}}{x}$，它在 $[\alpha, \beta]$ 上单调递减且非负。由第二积分中值定理，存在 $c \in [\alpha, \beta]$ 使得：
$$
\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \cos x \, dx = f(\alpha) \int_{\alpha}^{c} \cos x \, dx + f(\beta) \int_{c}^{\beta} \cos x \, dx.
$$
计算 $\int \cos x \, dx = \sin x$，代入得：
$$
= f(\alpha)(\sin c - \sin \alpha) + f(\beta)(\sin \beta - \sin c).
$$
公式：$\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \cos x \, dx = f(\alpha)(\sin c - \sin \alpha) + f(\beta)(\sin \beta - \sin c)$
提示：第二积分中值定理适用于单调函数与可积函数的乘积，这里 $\cos x$ 变号，不能直接用第一中值定理。
步骤 3/5
目标：乘以 $\alpha$ 并化简表达式
将上式乘以 $\alpha$，并代入 $f(\alpha) = \frac{e^{-\lambda \alpha}}{\alpha}$，$f(\beta) = \frac{e^{-\lambda \beta}}{\beta}$：
$$
\alpha \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \cos x \, dx = \alpha \cdot \frac{e^{-\lambda \alpha}}{\alpha} (\sin c - \sin \alpha) + \alpha \cdot \frac{e^{-\lambda \beta}}{\beta} (\sin \beta - \sin c)
= e^{-\lambda \alpha}(\sin c - \sin \alpha) + \frac{\alpha}{\beta} e^{-\lambda \beta}(\sin \beta - \sin c).
$$
公式：$\alpha \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \cos x \, dx = e^{-\lambda \alpha}(\sin c - \sin \alpha) + \frac{\alpha}{\beta} e^{-\lambda \beta}(\sin \beta - \sin c)$
提示：注意 $\alpha f(\alpha) = e^{-\lambda \alpha}$ 简化了表达式，这是关键步骤。
步骤 4/5
目标：利用三角不等式和正弦差的有界性进行估计
对绝对值应用三角不等式：
$$
\left| e^{-\lambda \alpha}(\sin c - \sin \alpha) + \frac{\alpha}{\beta} e^{-\lambda \beta}(\sin \beta - \sin c) \right|
\leq e^{-\lambda \alpha} |\sin c - \sin \alpha| + \frac{\alpha}{\beta} e^{-\lambda \beta} |\sin \beta - \sin c|.
$$
由于 $|\sin u - \sin v| \leq |u - v| \leq 2$，但更关键的是两个差的和为 $\sin \beta - \sin \alpha$，其绝对值 $\leq 2$。因此：
$$
\text{原式} \leq \max\{ e^{-\lambda \alpha}, \frac{\alpha}{\beta} e^{-\lambda \beta} \} \cdot |\sin \beta - \sin \alpha| \leq e^{-\lambda \alpha} \cdot 2 < 2,
$$
因为 $\lambda > 0$，$\alpha > 0$，故 $e^{-\lambda \alpha} < 1$。
公式：$\left| \alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{e^{-\lambda x}}{x} \cos x \, dx \right| < 2$
提示：这里利用了 $\sin c - \sin \alpha$ 和 $\sin \beta - \sin c$ 不会同时达到最大值2，因为它们的和受限于 $\sin \beta - \sin \alpha$。
步骤 5/5
目标：得出结论
由上述推导，左边积分的绝对值严格小于2，因此存在 $\theta$ 满足 $|\theta| < 1$，使得
$$
\alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{e^{-\lambda x}}{x} \cos x \, dx = 2\theta.
$$
公式：$\alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{e^{-\lambda x}}{x} \cos x \, dx = 2\theta, \quad |\theta| < 1$
提示：结论是存在性，不需要具体求出 $\theta$，只需证明左边绝对值小于2即可。
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