哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）求函数 $\displaystyle x+2 y+3 z$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值与最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立拉格朗日函数
设目标函数 $f(x,y,z)=x+2y+3z$，约束条件 $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0$。构造拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda)=x+2y+3z+\lambda(1-x^2-y^2-z^2)$。
公式：L = f + λ(1 - g)
提示：注意约束条件要写成 $g=0$ 的形式，拉格朗日函数中符号可正可负，但需保持一致。
步骤 2/7
目标：求偏导数并令为零
分别对 $x,y,z,\lambda$ 求偏导：
\begin{align*}
\frac{\partial L}{\partial x} &= 1 - 2\lambda x = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} &= 2 - 2\lambda y = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial z} &= 3 - 2\lambda z = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} &= 1 - x^2 - y^2 - z^2 = 0
\end{align*}
公式：∇L = 0
提示：注意对 $\lambda$ 求导得到的是约束条件本身，不要遗漏。
步骤 3/7
目标：解出 $x,y,z$ 用 $\lambda$ 表示
由前三个方程得：
\begin{align*}
x &= \frac{1}{2\lambda} \\
y &= \frac{1}{\lambda} \\
z &= \frac{3}{2\lambda}
\end{align*}
提示：注意 $\lambda \neq 0$，否则无解。
步骤 4/7
目标：代入约束条件求 $\lambda$
将 $x,y,z$ 代入 $x^2+y^2+z^2=1$：
$$\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^2 + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{3}{2\lambda}\right)^2 = 1$$
计算得：
$$\frac{1}{4\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} + \frac{9}{4\lambda^2} = \frac{1+4+9}{4\lambda^2} = \frac{14}{4\lambda^2} = \frac{7}{2\lambda^2} = 1$$
所以 $\lambda^2 = \frac{7}{2}$，即 $\lambda = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$。
提示：计算平方和时注意通分，避免算术错误。
步骤 5/7
目标：求极值点坐标
当 $\lambda = \frac{\sqrt{14}}{2}$ 时：
$$x = \frac{1}{\sqrt{14}}, \quad y = \frac{2}{\sqrt{14}}, \quad z = \frac{3}{\sqrt{14}}$$
当 $\lambda = -\frac{\sqrt{14}}{2}$ 时：
$$x = -\frac{1}{\sqrt{14}}, \quad y = -\frac{2}{\sqrt{14}}, \quad z = -\frac{3}{\sqrt{14}}$$
提示：注意符号：$\lambda$ 为负时，$x,y,z$ 均变号。
步骤 6/7
目标：计算函数值
代入 $f(x,y,z)=x+2y+3z$：
当 $\lambda = \frac{\sqrt{14}}{2}$ 时：
$$f = \frac{1}{\sqrt{14}} + 2\cdot\frac{2}{\sqrt{14}} + 3\cdot\frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{1+4+9}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$$
当 $\lambda = -\frac{\sqrt{14}}{2}$ 时：
$$f = -\frac{1}{\sqrt{14}} - 2\cdot\frac{2}{\sqrt{14}} - 3\cdot\frac{3}{\sqrt{14}} = -\frac{14}{\sqrt{14}} = -\sqrt{14}$$
提示：计算时注意系数，避免漏乘。
步骤 7/7
目标：判断最值
由于球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 是紧集，连续函数 $f$ 在其上必有最大值和最小值。比较两个函数值，得最大值为 $\sqrt{14}$，最小值为 $-\sqrt{14}$。
提示：紧集上连续函数必有最值，无需二阶检验。
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