哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
六．（20分）谈论函数
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4}+(-1)^{n} \cdot n}{x^{2}+n^{2}}
$$
的定义域与连续性（一致收玫判别法）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析通项并确定定义域
考虑通项 \( a_n(x) = \frac{x^{4}+(-1)^{n} n}{x^{2}+n^{2}} \)。对任意固定的 \( x \in \mathbb{R} \)，分母 \( x^2+n^2 > 0 \)，故通项有定义。将通项分解为 \( \frac{x^4}{x^2+n^2} + \frac{(-1)^n n}{x^2+n^2} \)。第一项 \( \frac{x^4}{x^2+n^2} \sim \frac{x^4}{n^2} \)，故 \( \sum \frac{x^4}{x^2+n^2} \) 绝对收敛。第二项是交错级数，且 \( \frac{n}{x^2+n^2} \) 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知收敛。因此对每个实数 \( x \)，级数收敛，定义域为 \( \mathbb{R} \)。
提示：注意分母恒正，无需考虑奇点；分解后分别判断收敛性。
步骤 2/5
目标：讨论第一项的一致收敛性
考虑 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^4}{x^2+n^2} \)。在任意闭区间 \([-a,a]\) 上，\( |x| \leq a \)，则 \( \left| \frac{x^4}{x^2+n^2} \right| \leq \frac{a^4}{n^2} \)。由于 \( \sum \frac{a^4}{n^2} \) 收敛，由M判别法知该级数在 \([-a,a]\) 上一致收敛。
公式：M判别法：若 \( |u_n(x)| \leq M_n \) 且 \( \sum M_n \) 收敛，则 \( \sum u_n(x) \) 一致收敛。
提示：注意 \( x^4 \) 无界，不能直接在 \( \mathbb{R} \) 上使用M判别法，需限制在有限区间。
步骤 3/5
目标：讨论第二项的一致收敛性
考虑 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{x^2+n^2} \)。由莱布尼茨判别法，余项 \( |R_N(x)| \leq \frac{N+1}{x^2+(N+1)^2} \leq \frac{1}{N+1} \)（因为 \( \frac{n}{x^2+n^2} \leq \frac{1}{n} \)）。余项一致趋于0，故该级数在 \( \mathbb{R} \) 上一致收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 \( b_n \) 单调递减趋于0，则交错级数 \( \sum (-1)^n b_n \) 收敛，且余项 \( |R_N| \leq b_{N+1} \)。
提示：利用 \( \frac{n}{x^2+n^2} \leq \frac{1}{n} \) 得到一致界。
步骤 4/5
目标：合并一致收敛性结论
由于 \( \sum \frac{x^4}{x^2+n^2} \) 在任意闭区间 \([-a,a]\) 上一致收敛，而 \( \sum \frac{(-1)^n n}{x^2+n^2} \) 在 \( \mathbb{R} \) 上一致收敛，因此它们的和 \( f(x) \) 在任意闭区间 \([-a,a]\) 上一致收敛。
提示：一致收敛级数的和仍一致收敛。
步骤 5/5
目标：证明连续性
由于 \( f(x) \) 在任意闭区间 \([-a,a]\) 上一致收敛，且每个通项 \( a_n(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上连续，因此和函数 \( f(x) \) 在 \([-a,a]\) 上连续。由 \( a \) 的任意性，\( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上连续。
公式：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
提示：注意：一致收敛是保证和函数连续性的充分条件。
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