哈尔滨工业大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二阶可微，且 $\displaystyle M_{k}=\sup \left|f^{(k)}(x)\right|<+\infty(k=0,1,2)$ ，则 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：初步估计：利用泰勒公式得到上界
对任意 $x \in \mathbb{R}$ 和 $h > 0$，由泰勒公式，存在 $\xi \in (x, x+h)$ 使得
$$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{1}{2}f''(\xi)h^2.$$
于是
$$f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{1}{2}f''(\xi)h.$$
取绝对值，得
$$|f'(x)| \leq \frac{|f(x+h)| + |f(x)|}{h} + \frac{1}{2}|f''(\xi)|h \leq \frac{2M_0}{h} + \frac{1}{2}M_2 h.$$
公式：泰勒公式：$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(\xi)h^2$
提示：注意泰勒公式的余项形式，这里使用的是拉格朗日余项。
步骤 2/6
目标：初步估计：求最小值得到较弱不等式
由于上式对任意 $h>0$ 成立，右边关于 $h$ 的最小值在 $h = 2\sqrt{M_0/M_2}$ 时取得（若 $M_0, M_2 > 0$），代入得
$$|f'(x)| \leq 2\sqrt{M_0 M_2}.$$
平方即得 $M_1^2 \leq 4M_0M_2$，但题目要求 $M_1^2 \leq 2M_0M_2$，说明上述估计不够精细。
公式：均值不等式或求导求最小值
提示：注意 $M_0$ 或 $M_2$ 为零时不等式显然成立，需单独讨论。
步骤 3/6
目标：改进思路：考虑两个点的泰勒展开
考虑 $x$ 和 $x+2h$，由泰勒公式
$$f(x+2h) = f(x) + 2f'(x)h + 2f''(\xi_1)h^2, \quad \xi_1 \in (x, x+2h),$$
$$f(x) = f(x+2h) - 2f'(x+2h)h + 2f''(\xi_2)h^2, \quad \xi_2 \in (x, x+2h).$$
公式：泰勒公式
提示：注意展开点不同，第二个式子是对 $f(x)$ 在 $x+2h$ 处展开。
步骤 4/6
目标：改进：两式相减得到导数差
两式相减得
$$f(x+2h) - f(x) = 2f'(x)h + 2f''(\xi_1)h^2,$$
$$f(x) - f(x+2h) = -2f'(x+2h)h + 2f''(\xi_2)h^2.$$
将两式相加得
$$0 = 2h[f'(x) - f'(x+2h)] + 2h^2[f''(\xi_1) + f''(\xi_2)],$$
所以
$$f'(x) - f'(x+2h) = -h[f''(\xi_1) + f''(\xi_2)].$$
提示：注意符号，相加后消去 $f(x+2h)-f(x)$ 项。
步骤 5/6
目标：改进：利用中值定理估计导数
于是
$$|f'(x) - f'(x+2h)| \leq 2M_2 h.$$
另一方面，由中值定理，存在 $\eta \in (x, x+2h)$ 使得
$$f(x+2h) - f(x) = 2h f'(\eta).$$
因此
$$|f'(x)| \leq |f'(\eta)| + |f'(x) - f'(\eta)| \leq \frac{|f(x+2h) - f(x)|}{2h} + 2M_2 h \leq \frac{M_0}{h} + 2M_2 h.$$
公式：中值定理：$f(x+2h)-f(x)=2hf'(\eta)$
提示：注意 $|f'(x)-f'(\eta)|$ 的估计需要用到 $|f'(x)-f'(x+2h)|$ 的界，但这里直接用了 $2M_2h$，因为 $\eta$ 在区间内。
步骤 6/6
目标：改进：求最小值得到最终不等式
取 $h = \sqrt{M_0/(2M_2)}$，得
$$|f'(x)| \leq \frac{M_0}{\sqrt{M_0/(2M_2)}} + 2M_2 \sqrt{M_0/(2M_2)} = \sqrt{2M_0M_2} + \sqrt{2M_0M_2} = 2\sqrt{M_0M_2/2} = \sqrt{2M_0M_2}.$$
平方即得 $M_1^2 \leq 2M_0M_2$。
公式：均值不等式或求导求最小值
提示：注意 $h$ 的选取要使得 $\frac{M_0}{h} = 2M_2h$，即 $h^2 = \frac{M_0}{2M_2}$。
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