哈尔滨工业大学 2016年数学分析第0题

假设极限 $\lim_{n\to\infty} x_n = L$ 存在，则对递推式 $x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n}$ 两边取极限，得 $L = 1 + \frac{1}{L}$。整理得 $L^2 - L - 1 = 0$，解得 $L = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。由于 $x_n > 0$，故取正根 $L = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

计算前几项：$x_0=1$, $x_1=2$, $x_2=1.5$, $x_3\approx1.6667$, $x_4=1.6$, $x_5\approx1.625$, $x_6\approx1.6154$。可见数列在 $L\approx1.618$ 附近摆动，奇数项大于 $L$，偶数项小于 $L$。因此考虑奇数项和偶数项子列。

由 $x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n}$ 得 $x_{n+2} = 1 + \frac{1}{x_{n+1}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x_n}} = \frac{2x_n + 1}{x_n + 1}$。令 $a_n = x_{2n}$, $b_n = x_{2n+1}$，则 $a_{n+1} = \frac{2a_n + 1}{a_n + 1}$, $b_{n+1} = \frac{2b_n + 1}{b_n + 1}$。

考虑函数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$，其导数 $f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} > 0$，故 $f$ 单调递增。计算 $a_{n+1} - a_n = \frac{2a_n+1}{a_n+1} - a_n = \frac{-a_n^2 + a_n + 1}{a_n+1}$。由于 $a_0=1 < L$，且 $L$ 是方程 $x^2 - x - 1=0$ 的正根，故当 $a_n < L$ 时，$-a_n^2 + a_n + 1 > 0$，从而 $a_{n+1} > a_n$。用归纳法可证 $a_n$ 单调递增。又由 $f$ 单调递增及 $a_n < L$ 得 $a_{n+1} = f(a_n) < f(L) = L$，故 $a_n$ 有上界 $L$。因此 $a_n$ 收敛，设极限为 $A$，则 $A = f(A)$，解得 $A = L$。

类似地，$b_0 = x_1 = 2 > L$，计算 $b_{n+1} - b_n = \frac{-b_n^2 + b_n + 1}{b_n+1}$。当 $b_n > L$ 时，$-b_n^2 + b_n + 1 < 0$，故 $b_{n+1} < b_n$，即 $b_n$ 单调递减。又由 $f$ 单调递增及 $b_n > L$ 得 $b_{n+1} = f(b_n) > f(L) = L$，故 $b_n$ 有下界 $L$。因此 $b_n$ 收敛，极限也为 $L$。

由于偶数项子列 $\{a_n\}$ 和奇数项子列 $\{b_n\}$ 都收敛于 $L$，且原数列 $\{x_n\}$ 由这两个子列组成，故 $\{x_n\}$ 收敛于 $L$。因此极限 $\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。