哈尔滨工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）判断
$$
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n-(-1)^{n}}
$$
的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析通项形式
通项为 $a_n = 2^{-n-(-1)^{n}}$。由于 $(-1)^n$ 在 $1$ 和 $-1$ 之间交替，因此 $a_n$ 依赖于 $n$ 的奇偶性。
提示：注意 $(-1)^n$ 的取值：$n$ 为奇数时 $(-1)^n = -1$，$n$ 为偶数时 $(-1)^n = 1$。
步骤 2/6
目标：分奇偶项写出通项
当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，则 $a_n = 2^{-n-(-1)} = 2^{-n+1} = 2^{1-n}$。当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n = 1$，则 $a_n = 2^{-n-1} = 2^{-(n+1)}$。
提示：注意指数运算：$2^{-n-(-1)} = 2^{-n+1}$，不要混淆符号。
步骤 3/6
目标：将级数分解为奇偶项之和
原级数可写为：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_{2k-1} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{2k}.
$$
提示：注意下标转换：奇数项 $n=2k-1$，偶数项 $n=2k$，$k$ 从1开始。
步骤 4/6
目标：计算奇数项级数
奇数项：$a_{2k-1} = 2^{1-(2k-1)} = 2^{2-2k} = 4 \cdot 2^{-2k} = 4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^k$。
因此，
$$
\sum_{k=1}^{\infty} a_{2k-1} = 4 \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k = 4 \cdot \frac{1/4}{1-1/4} = 4 \cdot \frac{1/4}{3/4} = \frac{4}{3}.
$$
公式：几何级数求和公式：$\sum_{k=1}^{\infty} r^k = \frac{r}{1-r}$，其中 $|r|<1$。
提示：注意公比 $r=1/4$，求和时首项为 $r$ 而不是1。
步骤 5/6
目标：计算偶数项级数
偶数项：$a_{2k} = 2^{-(2k+1)} = \frac{1}{2} \cdot 2^{-2k} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^k$。
因此，
$$
\sum_{k=1}^{\infty} a_{2k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k = \frac{1}{2} \cdot \frac{1/4}{1-1/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{6}.
$$
公式：几何级数求和公式：$\sum_{k=1}^{\infty} r^k = \frac{r}{1-r}$，其中 $|r|<1$。
提示：注意系数 $1/2$ 不要遗漏。
步骤 6/6
目标：求和并判断收敛性
原级数收敛，且和为：
$$
\frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.
$$
提示：通分时注意分母统一为6。
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