哈尔滨工业大学 2016年数学分析第0题

将积分区间 $[1, +\infty)$ 按整数点分割为无穷多个小区间 $[k, k+1)$，$k=1,2,\ldots$，则积分化为级数求和： $$I = \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} \left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x.$$

在区间 $[k, k+1)$ 上，$[x] = k$，因此 $$\int_{k}^{k+1} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x = \frac{1}{k} \cdot 1 - \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} \mathrm{d} x = \frac{1}{k} - \ln\frac{k+1}{k}.$$

于是原积分化为无穷级数： $$I = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} - \ln\frac{k+1}{k}\right).$$

考虑前 $n$ 项部分和： $$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \ln\frac{k+1}{k}\right) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \ln\frac{k+1}{k}.$$

利用对数性质， $$\sum_{k=1}^{n} \ln\frac{k+1}{k} = \ln\left(\prod_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k}\right) = \ln\left(\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdots \frac{n+1}{n}\right) = \ln(n+1).$$

因此部分和为 $$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n+1).$$

原积分 $I = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n+1) \right)$。由于 $\ln(n+1) = \ln n + \ln(1+1/n)$，且 $\ln(1+1/n) \to 0$，所以 $$\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n+1) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right).$$

因此， $$\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} - \ln n\right).$$ 证毕。