哈尔滨工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）给定函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases}
$$
求证 $f$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 处不连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确函数定义和待证结论
函数 $f(x)$ 定义为：当 $x$ 为有理数时，$f(x)=x^2$；当 $x$ 为无理数时，$f(x)=0$。需要证明 $f$ 在 $x=0$ 处可导，但在任意 $x \neq 0$ 处不连续。
提示：注意区分有理数和无理数的定义，以及函数在每点的取值规则。
步骤 2/8
目标：证明在 $x=0$ 处可导：写出导数定义
根据导数定义，$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$。由于 $f(0)=0$（0 是有理数，$0^2=0$），所以 $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$。
公式：$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$
提示：不要忘记 $f(0)=0$ 的验证。
步骤 3/8
目标：证明在 $x=0$ 处可导：分情况讨论 $\frac{f(h)}{h}$
对任意 $h \neq 0$，若 $h$ 为有理数，则 $f(h)=h^2$，$\frac{f(h)}{h}=h$；若 $h$ 为无理数，则 $f(h)=0$，$\frac{f(h)}{h}=0$。因此，$\left|\frac{f(h)}{h}\right| \leq |h|$ 对所有 $h \neq 0$ 成立。
公式：$\left|\frac{f(h)}{h}\right| \leq |h|$
提示：注意绝对值不等式的推导，确保覆盖所有 $h$。
步骤 4/8
目标：证明在 $x=0$ 处可导：应用夹逼定理求极限
由于 $0 \leq \left|\frac{f(h)}{h}\right| \leq |h|$，且 $\lim_{h \to 0} |h| = 0$，由夹逼定理得 $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$。因此 $f'(0)=0$，$f$ 在 $x=0$ 处可导。
公式：夹逼定理：若 $0 \leq |g(h)| \leq |h|$ 且 $\lim_{h\to0}|h|=0$，则 $\lim_{h\to0}g(h)=0$
提示：夹逼定理要求不等式两边极限相等，这里左边是0，右边是0，中间极限为0。
步骤 5/8
目标：证明在 $x \neq 0$ 处不连续：构造两个序列
取任意 $x_0 \neq 0$。由于有理数和无理数在实数中稠密，存在有理数序列 $\{r_n\}$ 和无理数序列 $\{s_n\}$，使得 $r_n \to x_0$，$s_n \to x_0$（当 $n \to \infty$）。
提示：有理数和无理数的稠密性是关键，需要明确存在这样的序列。
步骤 6/8
目标：证明在 $x \neq 0$ 处不连续：计算函数值序列的极限
沿有理数序列：$f(r_n) = r_n^2 \to x_0^2$（因为 $r_n \to x_0$，且 $x^2$ 连续）。沿无理数序列：$f(s_n) = 0 \to 0$。由于 $x_0 \neq 0$，$x_0^2 \neq 0$，所以两个极限不相等。
提示：注意 $x_0^2 \neq 0$ 是因为 $x_0 \neq 0$，这是不连续的根本原因。
步骤 7/8
目标：证明在 $x \neq 0$ 处不连续：得出不连续结论
因为沿不同序列趋于 $x_0$ 时，$f(x)$ 的极限不同（分别为 $x_0^2$ 和 $0$），所以 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在，故 $f$ 在 $x_0$ 处不连续。由于 $x_0$ 是任意非零实数，所以 $f$ 在所有 $x \neq 0$ 处不连续。
提示：函数在某点连续的充要条件是所有序列的极限都相等且等于函数值。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上所述，$f$ 在 $x=0$ 处可导且导数为 $0$，而在任意 $x \neq 0$ 处不连续。
提示：注意区分可导与连续的关系：可导必连续，但这里 $x=0$ 处可导，而其他点不连续，说明 $f$ 仅在 $x=0$ 处连续。
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