哈尔滨工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，并且 $\displaystyle \forall x \in[a, b], \exists y \in[a, b]$ ，s．t $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：反证法假设
假设对于所有 $x \in [a,b]$，都有 $f(x) \neq 0$，则 $|f(x)| > 0$ 恒成立。
提示：注意反证法的假设是结论的反面，即不存在零点。
步骤 2/5
目标：利用连续性得到最小值
由于 $f \in C[a,b]$，函数 $|f(x)|$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，因此存在最小值 $m = \min_{x \in [a,b]} |f(x)|$。由假设，$m > 0$。设 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $|f(x_0)| = m$。
公式：$m = \min_{x \in [a,b]} |f(x)| > 0$
提示：闭区间上连续函数必有最值，但要注意最小值可能出现在端点。
步骤 3/5
目标：应用题目条件
由题设，对于 $x_0 \in [a,b]$，存在 $y \in [a,b]$ 使得 $|f(y)| \leq \frac{1}{2} |f(x_0)| = \frac{m}{2}$。
公式：$|f(y)| \leq \frac{1}{2} |f(x_0)| = \frac{m}{2}$
提示：注意条件中的 $\forall x, \exists y$，这里取 $x = x_0$。
步骤 4/5
目标：导出矛盾
由于 $m$ 是 $|f(x)|$ 的最小值，应有 $|f(y)| \geq m$。但由上式 $|f(y)| \leq \frac{m}{2}$，这与 $m > 0$ 矛盾（因为 $\frac{m}{2} < m$）。
公式：$|f(y)| \geq m$ 与 $|f(y)| \leq \frac{m}{2}$ 矛盾
提示：注意最小值定义：$|f(y)| \geq m$ 对所有 $y$ 成立。
步骤 5/5
目标：结论
因此假设不成立，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = 0$。
提示：反证法结论要明确写出存在零点。
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