哈尔滨工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）求证
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\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sin \pi x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：考虑级数并判断逐项积分的可行性
考虑级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sin \pi x \, dx$。由于 $|x^n \sin \pi x| \leq x^n$，且 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ 在 $[0,1)$ 上收敛，但在 $x=1$ 处发散。然而，$\sin \pi x$ 有界，且级数在 $[0,1)$ 内闭一致收敛，端点 $x=1$ 测度为零，因此可以逐项积分。
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1$$
提示：注意 $x=1$ 处级数发散，但积分时该点测度为零，不影响结果。
步骤 2/4
目标：应用逐项积分定理
由逐项积分定理，交换求和与积分顺序：
$$\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1 x^n \sin \pi x \, dx = \int_0^1 \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right) \sin \pi x \, dx = \int_0^1 \frac{\sin \pi x}{1-x} \, dx.$$
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1 x^n \sin \pi x \, dx = \int_0^1 \frac{\sin \pi x}{1-x} \, dx$$
提示：确保逐项积分的条件满足：函数项级数一致收敛或可应用控制收敛定理。
步骤 3/4
目标：变量代换化简积分
令 $t = \pi(1-x)$，则 $x = 1 - \frac{t}{\pi}$，$dx = -\frac{dt}{\pi}$。当 $x=0$ 时，$t=\pi$；当 $x=1$ 时，$t=0$。代入积分：
$$\int_0^1 \frac{\sin \pi x}{1-x} \, dx = \int_{\pi}^{0} \frac{\sin(\pi - t)}{t/\pi} \left(-\frac{dt}{\pi}\right) = \int_0^{\pi} \frac{\sin t}{t} \, dt.$$
公式：$$\sin(\pi - t) = \sin t$$
提示：注意积分限变换时符号的处理，以及 $\sin(\pi - t) = \sin t$ 的应用。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，原等式成立：
$$\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sin \pi x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \, dx.$$
提示：最终结果中积分变量 $x$ 是哑变量，与之前不同，注意区分。
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