哈尔滨工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）对数列 $\displaystyle \left\{a_{k}\right\},\left\{b_{k}\right\}$ 定义 $\displaystyle a_{k}=b_{k+1}-b_{k}$ ．求证：若 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}$ 与 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|b_{k}\right|$ 都收敛，则 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} b_{k}$ 也收敛．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化已知条件，得到数列 {b_k} 的极限性质
由 $a_k = b_{k+1} - b_k$ 得部分和 $\sum_{k=1}^n a_k = b_{n+1} - b_1$。因为 $\sum_{k=1}^\infty a_k$ 收敛，所以 $b_{n+1}$ 收敛，记极限为 $L$。又 $\sum_{k=1}^\infty |b_k|$ 收敛，故 $b_k \to 0$，从而 $L=0$，即 $\lim_{k\to\infty} b_k = 0$。
公式：$\sum_{k=1}^n a_k = b_{n+1} - b_1$，$\lim_{k\to\infty} b_k = 0$
提示：注意级数收敛的必要条件是通项趋于0，这里 $\sum |b_k|$ 收敛推出 $b_k \to 0$。
步骤 2/5
目标：改写待证级数 $a_k b_k$ 为便于处理的形式
利用恒等式 $b_{k+1}^2 - b_k^2 = (b_{k+1} - b_k)(b_{k+1} + b_k) = a_k(b_{k+1} + b_k)$，可得 $a_k b_k = \frac12(b_{k+1}^2 - b_k^2) - \frac12 a_k^2$。
公式：$a_k b_k = \frac12(b_{k+1}^2 - b_k^2) - \frac12 a_k^2$
提示：推导时注意展开验证：$(b_{k+1}^2 - b_k^2) - a_k^2 = 2a_k b_k$。
步骤 3/5
目标：处理第一部分 $\frac12(b_{k+1}^2 - b_k^2)$ 的部分和
部分和 $\sum_{k=1}^n \frac12(b_{k+1}^2 - b_k^2) = \frac12(b_{n+1}^2 - b_1^2)$。由于 $b_{n+1} \to 0$，当 $n\to\infty$ 时，这部分趋于 $-\frac12 b_1^2$，故收敛。
公式：$\sum_{k=1}^n \frac12(b_{k+1}^2 - b_k^2) = \frac12(b_{n+1}^2 - b_1^2) \to -\frac12 b_1^2$
提示：这是裂项相消，注意 $b_{n+1}$ 极限为0。
步骤 4/5
目标：利用 $\sum |b_k|$ 收敛证明 $\sum a_k^2$ 收敛
由 $a_k = b_{k+1} - b_k$ 得 $|a_k| \le |b_{k+1}| + |b_k|$，故 $\sum_{k=1}^\infty |a_k| \le 2\sum_{k=1}^\infty |b_k| - |b_1| < \infty$，即 $\sum a_k$ 绝对收敛。当 $k$ 充分大时 $|a_k| < 1$，则 $a_k^2 \le |a_k|$，由比较判别法知 $\sum a_k^2$ 收敛。
公式：$|a_k| \le |b_{k+1}| + |b_k|$，$\sum a_k^2$ 收敛
提示：绝对收敛级数的平方项级数不一定收敛，需利用 $a_k^2 \le |a_k|$ 当 $|a_k| \le 1$ 时成立，结合比较判别法。
步骤 5/5
目标：合并两部分，证明原级数收敛
第一部分 $\frac12(b_{n+1}^2 - b_1^2)$ 收敛到 $-\frac12 b_1^2$，第二部分 $-\frac12 \sum_{k=1}^n a_k^2$ 收敛到 $-\frac12 \sum_{k=1}^\infty a_k^2$，因此 $\sum_{k=1}^\infty a_k b_k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_k b_k$ 存在且有限，即级数收敛。
公式：$\sum_{k=1}^\infty a_k b_k = -\frac12 b_1^2 - \frac12 \sum_{k=1}^\infty a_k^2$
提示：注意两部分均收敛，和收敛。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。