哈尔滨工业大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）（1）计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为半球面 $\displaystyle Z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧．
（2）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内分段光滑曲线，证明积分
$$
I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y
$$
与 $L$ 的路径无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用高斯公式
补平面 $\Sigma_1: z=0$（$x^2+y^2\le a^2$）取下侧，则 $\Sigma\cup\Sigma_1$ 构成封闭曲面，方向外侧。由高斯公式，
$$
\iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V,
$$
其中 $P=xy^2-z^3$, $Q=yz^2-x^3$, $R=zx^2-y^3$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V$
提示：注意补平面的方向：取下侧，使整体外侧一致。
步骤 2/8
目标：计算散度
计算散度：
$$
\frac{\partial P}{\partial x}=y^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=z^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=x^2,
$$
所以散度为 $x^2+y^2+z^2$。
提示：偏导数计算要仔细，注意 $P$ 对 $x$ 求导时 $z^3$ 视为常数。
步骤 3/8
目标：计算三重积分
在球坐标下，$V: 0\le r\le a, 0\le\theta\le\pi/2, 0\le\phi\le2\pi$，
$$
\iiint_V (x^2+y^2+z^2) \mathrm{d}V = \iiint_V r^2 \cdot r^2\sin\theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^{\pi/2}\sin\theta\mathrm{d}\theta \int_0^a r^4\mathrm{d}r = 2\pi \cdot 1 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{2\pi a^5}{5}.
$$
公式：球坐标变换：$\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\ \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$
提示：注意积分区域是上半球，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/2$。
步骤 4/8
目标：计算补平面上的积分
在 $\Sigma_1$ 上，$z=0$，$\mathrm{d}z=0$，方向取下侧，故 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = -\mathrm{d}S$。直接计算：
$$
\iint_{\Sigma_1} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{\Sigma_1} (zx^2-y^3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{x^2+y^2\le a^2} (0 - y^3) \mathrm{d}x\mathrm{d}y.
$$
由于 $y^3$ 是奇函数，区域对称，积分为 $0$。所以 $\iint_{\Sigma_1}=0$。
提示：注意 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 的符号：取下侧时投影面积为负。
步骤 5/8
目标：得出曲面积分结果
由高斯公式，$\iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} = \frac{2\pi a^5}{5}$，且 $\iint_{\Sigma_1}=0$，因此
$$
I = \iint_{\Sigma} = \frac{2\pi a^5}{5}.
$$
提示：注意区分 $\Sigma$ 和 $\Sigma_1$ 的积分值。
步骤 6/8
目标：证明积分与路径无关的条件
要证明积分 $I=\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 与路径无关，只需证明 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。
设 $P = y^{-1}(1+y^2 f(xy))$, $Q = x y^{-2}(y^2 f(xy)-1)$。
公式：积分与路径无关的充要条件：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
提示：注意 $f$ 是 $xy$ 的函数，求导时要用链式法则。
步骤 7/8
目标：计算偏导数 $\partial P/\partial y$
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = -y^{-2}(1+y^2 f) + y^{-1}(2y f + y^2 f' \cdot x) = -y^{-2} - f + 2f + x y f' = -y^{-2} + f + x y f'.
$$
公式：乘积法则和链式法则
提示：注意 $f(xy)$ 对 $y$ 求导得 $f' \cdot x$。
步骤 8/8
目标：计算偏导数 $\partial Q/\partial x$ 并比较
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = y^{-2}(y^2 f -1) + x y^{-2} \cdot y^2 f' \cdot y = f - y^{-2} + x y f'.
$$
因此 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，故积分与路径无关。
提示：注意 $Q$ 对 $x$ 求导时，$y$ 视为常数，$f(xy)$ 对 $x$ 求导得 $f' \cdot y$。
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