哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
1．$(-\infty, 0]$ 上有界连续函数是否一定一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确问题
题目问：$(-\infty, 0]$ 上的有界连续函数是否一定一致连续？我们需要判断这个命题的真假。
提示：注意区分一致连续与连续的概念。
步骤 2/8
目标：构造反例函数
考虑函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上。
提示：选择振荡频率逐渐增大的函数，如 $\sin(x^2)$ 或 $\sin(1/x)$（但后者在0处无定义，需调整）。
步骤 3/8
目标：验证有界性
由于 $|\sin(x^2)| \leq 1$，所以 $f$ 在 $(-\infty, 0]$ 上有界。
公式：$|\sin(\cdot)| \leq 1$
提示：有界性容易验证，注意绝对值。
步骤 4/8
目标：验证连续性
$\sin(x^2)$ 是初等函数，在 $\mathbb{R}$ 上连续，因此在 $(-\infty, 0]$ 上连续。
提示：初等函数在其定义域内连续。
步骤 5/8
目标：证明不一致连续性：选取点列
取 $x_n = -\sqrt{2n\pi}$，$y_n = -\sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，其中 $n \in \mathbb{N}$。
提示：点列应使得函数值差为常数，而自变量差趋于0。
步骤 6/8
目标：计算自变量差趋于0
计算 $|x_n - y_n| = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}} - \sqrt{2n\pi} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2n\pi}} \to 0$ 当 $n \to \infty$。
公式：$\sqrt{a+\Delta} - \sqrt{a} = \frac{\Delta}{\sqrt{a+\Delta}+\sqrt{a}}$
提示：分子有理化是常用技巧。
步骤 7/8
目标：计算函数值差为常数
计算 $|f(x_n) - f(y_n)| = |\sin(2n\pi) - \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2})| = |0 - 1| = 1$。
公式：$\sin(2n\pi)=0$, $\sin(2n\pi+\pi/2)=1$
提示：注意正弦函数的周期性。
步骤 8/8
目标：得出不一致连续结论
取 $\varepsilon = 1$，对任意 $\delta > 0$，存在充分大的 $n$ 使得 $|x_n - y_n| < \delta$ 但 $|f(x_n) - f(y_n)| = 1 \geq \varepsilon$。因此 $f$ 在 $(-\infty, 0]$ 上不一致连续。所以有界连续函数不一定一致连续。
提示：一致连续的定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y: |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$。反例需找到一对点列破坏该条件。
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