哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题

题目声称：若对任意有理数列 $\{r_n\}$ 满足 $r_n \to 0$ 且 $r_n \neq 0$，极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(x_0+r_n)-f(x_0)}{r_n}$ 存在，则 $f'(x_0)$ 存在。我们需要判断该命题是否正确。通常，导数存在要求对所有趋于0的数列（包括无理数）差商极限存在且相等。仅对有理数列成立可能不足以保证导数存在。因此，命题很可能是错误的，需要构造反例。

考虑函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$，并取 $x_0 = 0$。该函数在 $x=0$ 处连续，但导数不存在。

对任意有理数列 $r_n \to 0$，$r_n \neq 0$，计算差商： $$\frac{f(r_n)-f(0)}{r_n} = \frac{r_n^2 \sin\frac{1}{r_n}}{r_n} = r_n \sin\frac{1}{r_n}.$$ 由于 $|r_n \sin\frac{1}{r_n}| \leq |r_n| \to 0$，由夹逼定理得极限为0。因此，对任意有理数列，该极限存在且等于0。

考虑两个特殊的无理数列： 1. 取 $x_n = \frac{1}{n\pi}$，则 $f(x_n)=0$，差商为0，趋于0。 2. 取 $y_n = \frac{2}{(4n+1)\pi}$，则 $\sin\frac{1}{y_n} = \sin\frac{(4n+1)\pi}{2} = 1$，所以 $f(y_n)=y_n^2$，差商为 $y_n \to 0$？实际上计算： $$\frac{f(y_n)-f(0)}{y_n} = y_n \sin\frac{1}{y_n} = y_n \cdot 1 = y_n \to 0.$$ 但注意：导数不存在是因为 $f'(0)$ 的极限不存在？实际上，$f'(0)$ 定义为 $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0$，所以 $f'(0)=0$？等等，这里需要重新审视。经典结论是 $f(x)=x^2\sin(1/x)$ 在 $x=0$ 处可导，导数为0。但 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。实际上，这个函数在0处可导！那么它不能作为反例。我们需要一个在0处不可导但沿有理数列差商收敛的函数。

考虑函数 $f(x) = \begin{cases} x \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$。该函数在0处不连续，但沿有理数列？实际上，$f$ 在0处不连续，所以导数不存在。但题目要求 $f$ 在 $x_0$ 处有定义，且差商极限存在。对于 $f(x)=x\sin(1/x)$，$\frac{f(r_n)-f(0)}{r_n} = \sin\frac{1}{r_n}$，当 $r_n$ 为有理数时，$\sin\frac{1}{r_n}$ 可能振荡，极限不一定存在。因此需要更精细的反例。

定义函数 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \text{为有理数} \\ 0, & x \text{为无理数} \end{cases}$，即狄利克雷函数。取 $x_0=0$。对任意有理数列 $r_n \to 0$，$r_n \neq 0$，有 $f(r_n)=1$，$f(0)=1$（因为0是有理数），所以差商 $\frac{1-1}{r_n}=0$，极限为0。但 $f$ 在0处不连续，更不可导。实际上，对无理数列 $s_n \to 0$，$f(s_n)=0$，差商 $\frac{0-1}{s_n} = -\frac{1}{s_n}$ 发散。因此，沿有理数列极限存在，但导数不存在。

因此，命题错误。反例：$f(x)$ 为狄利克雷函数，$x_0=0$。对任意有理数列 $r_n \to 0$，$r_n \neq 0$，极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(r_n)-f(0)}{r_n}=0$ 存在，但 $f'(0)$ 不存在（因为 $f$ 在0处不连续）。