哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
3．若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 且 $f(x) \geqslant 0$ 则 $f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设存在点使函数为正
假设存在 $x_0 \in [a, b]$ 使得 $f(x_0) > 0$。由于 $f(x) \geqslant 0$ 且 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积（题目隐含可积条件），我们考虑利用连续函数的性质。
提示：注意题目未明确说明 $f$ 连续，但可积函数不一定连续，这里需要用到可积函数的性质：若可积函数在某点为正，则存在邻域使得函数值大于某正数。实际上，对于可积函数，若 $f(x_0)>0$，则存在 $δ>0$ 使得在 $[x_0-δ, x_0+δ]$ 上 $f(x) \geqslant \frac{f(x_0)}{2}$ 不一定成立，除非 $f$ 连续。因此更严谨的做法是利用可积函数在连续点处的性质，或者直接使用勒贝格积分理论。但本题通常假设 $f$ 连续或可积且非负，则结论成立。
步骤 2/5
目标：构造正积分区间
由于 $f(x_0) > 0$，存在 $δ > 0$ 使得在区间 $[x_0 - δ, x_0 + δ] \cap [a, b]$ 上 $f(x) \geqslant \frac{f(x_0)}{2} > 0$。设该区间长度为 $Δ > 0$。
提示：这里需要确保 $Δ > 0$，即区间非退化。如果 $x_0$ 是端点，则区间可能只有一半，但长度仍为正。
步骤 3/5
目标：积分不等式估计
由 $f(x) \geqslant 0$ 及积分单调性，有
$$
\int_a^b f(x) \, dx \geqslant \int_{x_0 - δ}^{x_0 + δ} f(x) \, dx \geqslant \frac{f(x_0)}{2} \cdot Δ > 0.
$$
公式：积分单调性：若 $f(x) \geqslant g(x)$，则 $\int f \geqslant \int g$
提示：注意积分区间是 $[a,b]$ 的子区间，所以不等式方向正确。
步骤 4/5
目标：导出矛盾
这与已知条件 $\int_a^b f(x) \, dx = 0$ 矛盾。因此假设不成立。
提示：矛盾点：正数大于0与等于0矛盾。
步骤 5/5
目标：得出结论
所以对任意 $x \in [a, b]$，$f(x) = 0$，即 $f(x) \equiv 0$ 在 $[a, b]$ 上成立。
提示：结论是函数恒为零。
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