哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
4．$\left\{u_{n}\right\}$ 是非负数列且 $\displaystyle u_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，则 $\sum u_{n}$ 一定收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件和结论
题目给出：$\{u_n\}$ 是非负数列，且 $u_n = o\left(\frac{1}{n}\right)$，即 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{1/n} = 0$。问是否一定有 $\sum u_n$ 收敛。我们需要判断这个命题的真假。
公式：$u_n = o\left(\frac{1}{n}\right) \iff \lim_{n\to\infty} n u_n = 0$
提示：注意 $o$ 表示高阶无穷小，即 $u_n$ 比 $1/n$ 更快地趋于0。
步骤 2/5
目标：构造反例思路
要证明命题错误，只需找到一个非负数列 $u_n$ 满足 $u_n = o(1/n)$ 但级数 $\sum u_n$ 发散。常见发散级数如调和级数 $\sum 1/n$ 发散，但 $1/n$ 不满足 $o(1/n)$（因为极限为1）。需要找一个比 $1/n$ 更小的但级数仍发散的数列，例如 $u_n = 1/(n \ln n)$（$n\ge 2$）。
提示：注意 $1/(n \ln n)$ 比 $1/n$ 小，但级数发散，这是关键。
步骤 3/5
目标：验证 $u_n = o(1/n)$
令 $u_n = \frac{1}{n \ln n}$ 对于 $n \ge 2$，并定义 $u_1 = 0$。计算极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n \ln n)}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln n} = 0.
$$
因此 $u_n = o(1/n)$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln n} = 0$
提示：注意 $\ln n \to \infty$，所以极限为0。
步骤 4/5
目标：判断级数 $\sum u_n$ 的敛散性
考虑级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$。由于 $u_n \ge 0$，可用积分判别法：函数 $f(x) = \frac{1}{x \ln x}$ 在 $[2, \infty)$ 上连续、正、递减。计算反常积分：
$$
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} dx = \left[ \ln(\ln x) \right]_{2}^{\infty} = \infty.
$$
因此积分发散，从而级数发散。
公式：积分判别法：$\sum_{n=N}^{\infty} f(n)$ 与 $\int_{N}^{\infty} f(x) dx$ 同敛散
提示：注意积分计算时用换元 $t = \ln x$，$dt = dx/x$。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于存在反例 $u_n = 1/(n \ln n)$ 满足 $u_n = o(1/n)$ 但 $\sum u_n$ 发散，因此原命题“$\sum u_n$ 一定收敛”是错误的。
提示：反例构造是证明命题错误的有效方法。
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