哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
5．如果点 $(x, y)$ 沿任意射线方向趋于 $(0,0), f(x, y)$ 的极限均存在且相等则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在即 $f(x, y)$的重极限存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解命题含义
题目断言：若函数 $f(x,y)$ 沿任意射线方向（即所有直线路径 $x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta$，$r\to0^+$）趋于原点时极限都存在且相等（设为 $L$），则重极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 存在且等于 $L$。我们需要判断这一命题的真伪。
公式：沿射线：$\lim_{r\to0^+}f(r\cos\theta,r\sin\theta)=L$，$\forall\theta$
提示：注意“射线”仅覆盖直线路径，而重极限要求所有路径（包括曲线）的极限一致。
步骤 2/6
目标：分析逻辑漏洞
重极限存在的必要条件是：沿任何趋于原点的路径，极限都存在且相等。射线路径只是所有路径的一个子集。即使沿所有射线方向极限相等，仍可能存在非直线路径（如抛物线、螺旋线）使得极限不同，从而重极限不存在。
公式：重极限定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当 $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ 时，$|f(x,y)-L|<\varepsilon$
提示：不能将“所有射线”等同于“所有路径”。
步骤 3/6
目标：构造反例函数
考虑经典反例：
$$
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\
0, & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
$$
公式：$f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$
提示：该函数在原点附近有特殊行为，常用于说明方向极限与重极限的区别。
步骤 4/6
目标：验证沿任意射线极限为0
沿射线 $y=kx$（$k$ 为常数），代入得：
$$
f(x,kx)=\frac{x^2\cdot kx}{x^4+k^2x^2}=\frac{kx^3}{x^2(x^2+k^2)}=\frac{kx}{x^2+k^2}
$$
当 $x\to0$ 时，分子 $kx\to0$，分母 $x^2+k^2\to k^2$（若 $k\neq0$），故极限为 $0$。若 $k=0$（即沿 $x$ 轴），$f(x,0)=0$，极限也为 $0$。沿 $y$ 轴（$x=0$），$f(0,y)=0$，极限为 $0$。因此所有射线方向极限均为 $0$。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{kx}{x^2+k^2}=0$
提示：注意 $k=0$ 时需单独处理，但结果一致。
步骤 5/6
目标：构造非射线路径破坏重极限
沿抛物线 $y=x^2$ 趋于原点：
$$
f(x,x^2)=\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4}=\frac{x^4}{2x^4}=\frac12
$$
当 $x\to0$ 时，极限为 $\frac12$，不等于 $0$。因此重极限不存在。
公式：$\lim_{x\to0}f(x,x^2)=\frac12$
提示：抛物线路径不在任何射线上（除原点外），因此不违反“沿任意射线”的条件。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在反例，原命题不成立。仅沿所有射线方向极限存在且相等，不能保证重极限存在。
公式：反例：$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$
提示：判断重极限存在必须验证所有路径，不能只验证直线路径。
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