哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）（1）证明
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
这里 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解定积分定义
定积分定义为：$\int_0^1 f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k$，其中$\Delta x_k = \frac{1}{n}$，$\xi_k$为区间$[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}]$内任意点。取右端点$\xi_k = \frac{k}{n}$，则黎曼和为$\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) \cdot \frac{1}{n}$。
公式：\int_0^1 f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n}
提示：注意定积分定义中分割的等分性和取点的任意性，这里取右端点是一种常见取法。
步骤 2/6
目标：应用连续函数可积性
由于$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，因此$f(x)$在$[0,1]$上可积。可积函数在任意分割下黎曼和的极限存在且等于定积分。因此，上述黎曼和的极限即为$\int_0^1 f(x) dx$。
提示：连续函数一定可积，但可积函数不一定连续。这里连续条件保证了极限存在。
步骤 3/6
目标：完成第(1)问证明
由定积分定义，直接得到：$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 f(x) dx$。
提示：证明过程简洁，但需明确写出定积分定义。
步骤 4/6
目标：将第(2)问极限转化为黎曼和形式
原式$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}$。提取因子$\frac{1}{n}$：$\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n^2}}$。
公式：\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n^2}}
提示：注意$\frac{k}{n^2}$中分母是$n^2$，不是$n$，因此不是标准的黎曼和形式。
步骤 5/6
目标：使用夹逼准则求极限
由于$\frac{n}{n^2+n} \leq \frac{n}{n^2+k} \leq \frac{n}{n^2+1}$对所有$k=1,\dots,n$成立，求和得：$\frac{n^2}{n^2+n} \leq \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} \leq \frac{n^2}{n^2+1}$。计算两边极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2+n} = 1$，$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1$。由夹逼准则，原极限为1。
公式：\frac{n^2}{n^2+n} \leq \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} \leq \frac{n^2}{n^2+1}
提示：夹逼准则要求不等式两边极限相等。注意求和后分子是$n \cdot n = n^2$。
步骤 6/6
目标：得出第(2)问答案
因此，$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right) = 1$。
提示：结果简洁，但需注意不能直接使用黎曼和，因为$\frac{k}{n^2}$不是$\frac{k}{n}$的形式。
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