哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）（1）设 $\displaystyle k \sin y+\cos x=1$ ，其中 $\displaystyle (x, y)$ 满足 $\displaystyle \{(x, y)||x|<k-1, y \in(-\infty,+\infty)\}$ ，则方程在 $\displaystyle (0,0)$ 附近有存在唯一的 $\displaystyle y=y(x)$ ．
（2）讨论 $\displaystyle y=y(x)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：验证隐函数定理条件
设 $F(x,y)=k\sin y+\cos x-1$，则 $F(0,0)=k\cdot0+1-1=0$。计算偏导数 $F_y(x,y)=k\cos y$，在 $(0,0)$ 处 $F_y(0,0)=k\neq0$（由条件 $|x|1$ 或 $k<-1$，故 $k\neq0$）。$F_x(x,y)=-\sin x$ 连续。由隐函数定理，存在唯一 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 附近满足 $y(0)=0$。
公式：F(x,y)=k\sin y+\cos x-1, \quad F_y(0,0)=k\neq0
提示：注意条件 $|x|1$ 或 $k<-1$，确保 $k\neq0$。
步骤 2/4
目标：证明可微性
由于 $F_x$ 和 $F_y$ 在 $(0,0)$ 附近连续，且 $F_y(0,0)=k\neq0$，由隐函数定理，$y=y(x)$ 在 $x=0$ 附近连续可微。求导公式：$y'(x)=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{\sin x}{k\cos y}$。
公式：y'(x)=\frac{\sin x}{k\cos y}
提示：隐函数求导时注意符号，$y'(x)=-F_x/F_y$。
步骤 3/4
目标：计算导数在零点值
代入 $x=0$，$y(0)=0$，得 $y'(0)=\frac{\sin 0}{k\cos 0}=0$。
公式：y'(0)=0
提示：直接代入即可，注意 $\cos0=1$。
步骤 4/4
目标：求极限
所求极限 $\lim_{x\to0}\frac{y(x)}{x}$ 为 $\frac{0}{0}$ 型，由洛必达法则：$\lim_{x\to0}\frac{y(x)}{x}=\lim_{x\to0}y'(x)=y'(0)=0$。
公式：\lim_{x\to0}\frac{y(x)}{x}=y'(0)=0
提示：使用洛必达法则前需确认 $y(x)$ 可导且分母导数不为零。
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