哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）判断
$$
\sum \frac{2016^{n}}{2017^{n}-2015^{n}}
$$
的玫散性．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简通项
将通项 $a_n = \frac{2016^{n}}{2017^{n}-2015^{n}}$ 进行变形：
$$ a_n = \frac{2016^{n}}{2017^{n}\left(1 - \left(\frac{2015}{2017}\right)^{n}\right)} = \left(\frac{2016}{2017}\right)^{n} \cdot \frac{1}{1 - \left(\frac{2015}{2017}\right)^{n}}. $$
提示：注意分母提取公因式 $2017^n$ 时，要确保 $2017^n \neq 0$，这显然成立。
步骤 2/6
目标：分析通项渐近行为
由于 $\frac{2015}{2017} < 1$，当 $n \to \infty$ 时，$\left(\frac{2015}{2017}\right)^{n} \to 0$，因此
$$ \frac{1}{1 - \left(\frac{2015}{2017}\right)^{n}} \to 1. $$
于是 $a_n \sim \left(\frac{2016}{2017}\right)^{n}$。
提示：渐近等价要求分母极限不为0，这里分母趋于1，所以等价成立。
步骤 3/6
目标：判断几何级数收敛性
考虑几何级数 $\sum \left(\frac{2016}{2017}\right)^{n}$，其公比 $r = \frac{2016}{2017} < 1$，因此该级数收敛。
公式：几何级数 $\sum r^n$ 当 $|r|<1$ 时收敛。
提示：公比小于1是收敛的关键，注意比较判别法需要正项级数。
步骤 4/6
目标：应用比较判别法
由比较判别法，若 $a_n \sim b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。这里 $b_n = \left(\frac{2016}{2017}\right)^{n}$，故原级数收敛。
公式：比较判别法：若 $0 \le a_n \le C b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。
提示：严格证明需找到不等式，不能仅依赖渐近等价，但本题可进一步放缩。
步骤 5/6
目标：给出严格放缩
由于 $\left(\frac{2015}{2017}\right)^{n} \le \frac{2015}{2017}$ 对所有 $n \ge 1$ 成立，有
$$ 1 - \left(\frac{2015}{2017}\right)^{n} \ge 1 - \frac{2015}{2017} = \frac{2}{2017}, $$
所以
$$ a_n \le \frac{2016^{n}}{2017^{n} \cdot \frac{2}{2017}} = \frac{2017}{2} \left(\frac{2016}{2017}\right)^{n}. $$
而 $\sum \left(\frac{2016}{2017}\right)^{n}$ 收敛，故原级数收敛。
提示：放缩时注意分母变小则分数变大，这里分母有下界，所以得到上界。
步骤 6/6
目标：得出结论
综上，原级数 $\sum \frac{2016^{n}}{2017^{n}-2015^{n}}$ 收敛。
提示：最终答案需明确是收敛还是发散。
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