哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ 则计算
$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant n^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
（2）若记 $\displaystyle u=f(x, y), \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=\phi(x)$ 且有 $\displaystyle (\phi(u)) \leqslant u^{2}$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点是否可微请说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用对称性建立等式
由于积分区域 $D: x^2+y^2 \leq n^2$ 关于直线 $y=x$ 对称，作变量代换：令 $x'=y$, $y'=x$，则区域不变，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 不变，被积函数变为 $\frac{a f(y)+b f(x)}{f(x)+f(y)}$，因此有
$$ I = \iint_D \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_D \frac{a f(y)+b f(x)}{f(x)+f(y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$
提示：注意变量替换后积分区域不变，且雅可比行列式为1。
步骤 2/6
目标：两式相加化简
将上述两个等式相加，得到
$$ 2I = \iint_D \frac{(a+b)(f(x)+f(y))}{f(x)+f(y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = (a+b) \iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$
提示：分子分母中的 $f(x)+f(y)$ 约去时需注意 $f(x)+f(y)>0$，由题设 $f(x)>0$ 保证。
步骤 3/6
目标：计算面积并求解积分
区域 $D$ 是半径为 $n$ 的圆盘，面积为 $\pi n^2$，因此
$$ 2I = (a+b)\pi n^2 \quad \Rightarrow \quad I = \frac{(a+b)\pi n^2}{2}. $$
公式：圆面积公式 $S = \pi r^2$
提示：注意 $n$ 是半径，不是直径。
步骤 4/6
目标：分析可微性条件
已知 $\lim_{y\to 0} f(x,y) = \phi(x)$ 且 $|\phi(u)| \leq u^2$。但题目未给出 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的连续性或可微性条件。考虑 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微，需要检查偏导数存在且全增量可线性逼近。由于条件不足，无法直接判断。
提示：可微的必要条件是函数在该点连续，且偏导数存在。
步骤 5/6
目标：构造反例说明不可微
例如，取 $f(x,y) = \begin{cases} x^2, & y \neq 0 \\ 1, & y=0 \end{cases}$，则 $\lim_{y\to 0} f(x,y) = x^2 = \phi(x)$，且 $|\phi(u)| = u^2 \leq u^2$ 成立。但 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续（因为沿 $y=0$ 趋于 $(0,0)$ 时极限为1，而沿其他路径极限为0），故不可微。
提示：反例需满足所有给定条件，但破坏可微性。
步骤 6/6
目标：构造正例说明可微
取 $f(x,y) = x^2 + y^2$，则 $\lim_{y\to 0} f(x,y) = x^2 = \phi(x)$，且 $|\phi(u)| = u^2 \leq u^2$ 成立。$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微（偏导存在且全微分存在）。因此，在给定条件下，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不一定可微，即无法保证可微性。
提示：正例表明条件不充分，结论是“不一定”。
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