哈尔滨工业大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle (a, b)$ 可导且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant L<1$ 且 $\displaystyle a \leqslant f(x) \leqslant b,(a \leqslant x \leqslant b)$ 则：
（1）在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在唯一一点 $\displaystyle x^{*}$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=x^{*}$ ．
（2）对任意 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 构造 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)$ 则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x^{*}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并利用介值定理证明不动点存在性
令 $g(x) = f(x) - x$，则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。由条件 $a \leq f(x) \leq b$，得 $g(a) = f(a) - a \geq 0$，$g(b) = f(b) - b \leq 0$。若 $g(a)=0$ 或 $g(b)=0$，则 $x^*=a$ 或 $x^*=b$ 即为不动点。否则 $g(a)>0$，$g(b)<0$，由介值定理，存在 $x^* \in (a,b)$ 使得 $g(x^*)=0$，即 $f(x^*)=x^*$。
公式：介值定理：若连续函数 $g$ 在区间端点异号，则存在 $c$ 使得 $g(c)=0$。
提示：注意检查端点是否已经是不动点，避免遗漏边界情况。
步骤 2/5
目标：利用拉格朗日中值定理和导数条件证明不动点唯一性
假设存在两个不同的不动点 $x_1^*$ 和 $x_2^*$，且 $x_1^* < x_2^*$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1^*, x_2^*)$ 使得 $f(x_2^*) - f(x_1^*) = f'(\xi)(x_2^* - x_1^*)$。由于 $f(x_i^*)=x_i^*$，左边为 $x_2^* - x_1^*$，故 $x_2^* - x_1^* = f'(\xi)(x_2^* - x_1^*)$。因为 $x_2^* \neq x_1^*$，两边除以 $x_2^* - x_1^*$ 得 $f'(\xi)=1$，这与 $|f'(x)| \leq L < 1$ 矛盾。因此不动点唯一。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，其中 $\xi \in (a,b)$。
提示：注意反证法假设两个不同不动点，利用导数条件推出矛盾。
步骤 3/5
目标：建立迭代序列并证明其有界性
对任意 $x_0 \in [a,b]$，定义 $x_n = f(x_{n-1})$。由条件 $a \leq f(x) \leq b$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立，通过归纳法可知 $x_n \in [a,b]$ 对所有 $n$ 成立。
提示：归纳法证明时，基础步骤 $x_0 \in [a,b]$ 已知，归纳步骤利用 $f$ 的值域条件。
步骤 4/5
目标：利用拉格朗日中值定理推导误差递推不等式
考虑 $|x_n - x^*| = |f(x_{n-1}) - f(x^*)|$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_{n-1}$ 介于 $x_{n-1}$ 与 $x^*$ 之间，使得 $|f(x_{n-1}) - f(x^*)| = |f'(\xi_{n-1})| \cdot |x_{n-1} - x^*| \leq L |x_{n-1} - x^*|$。因此 $|x_n - x^*| \leq L |x_{n-1} - x^*|$。
公式：拉格朗日中值定理的绝对值形式：$|f(b)-f(a)| = |f'(\xi)| |b-a|$。
提示：注意中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里 $f$ 在 $[a,b]$ 上满足条件。
步骤 5/5
目标：递推得到误差上界并取极限证明收敛
由 $|x_n - x^*| \leq L |x_{n-1} - x^*|$ 递推得 $|x_n - x^*| \leq L^n |x_0 - x^*|$。由于 $0 \leq L < 1$，当 $n \to \infty$ 时 $L^n \to 0$，故 $\lim_{n \to \infty} |x_n - x^*| = 0$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = x^*$。
公式：等比数列极限：若 $0 \leq L < 1$，则 $\lim_{n\to\infty} L^n = 0$。
提示：注意 $|x_0 - x^*|$ 是常数，乘以趋于0的量仍趋于0。
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