哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
一．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ ，用 $\displaystyle \delta, \varepsilon$ 定义证明
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\lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{A}}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确前提条件
已知 $\lim_{x \to a} f(x) = A$，且 $A > 0$（否则 $\frac{1}{\sqrt{A}}$ 无意义）。由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_1$ 时，有 $|f(x) - A| < \frac{A}{2}$，从而 $f(x) > \frac{A}{2} > 0$。
提示：注意 $A>0$ 是隐含条件，否则根号无意义。
步骤 2/6
目标：写出要证明的极限定义形式
要证 $\lim_{x \to a} \frac{1}{\sqrt{f(x)}} = \frac{1}{\sqrt{A}}$，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，有 $\left| \frac{1}{\sqrt{f(x)}} - \frac{1}{\sqrt{A}} \right| < \varepsilon$。
提示：明确目标，避免混淆。
步骤 3/6
目标：化简差值表达式
计算差值：$\left| \frac{1}{\sqrt{f(x)}} - \frac{1}{\sqrt{A}} \right| = \frac{|\sqrt{A} - \sqrt{f(x)}|}{\sqrt{A}\sqrt{f(x)}} = \frac{|A - f(x)|}{\sqrt{A}\sqrt{f(x)}(\sqrt{A} + \sqrt{f(x)})}$。
公式：$\frac{1}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{v}} = \frac{\sqrt{v} - \sqrt{u}}{\sqrt{u}\sqrt{v}} = \frac{v - u}{\sqrt{u}\sqrt{v}(\sqrt{u}+\sqrt{v})}$
提示：分子有理化时注意符号。
步骤 4/6
目标：放缩不等式
由于 $f(x) > \frac{A}{2}$，有 $\sqrt{f(x)} > \sqrt{\frac{A}{2}}$，且 $\sqrt{A} + \sqrt{f(x)} > \sqrt{A}$，因此 $\frac{1}{\sqrt{A}\sqrt{f(x)}(\sqrt{A}+\sqrt{f(x)})} < \frac{1}{\sqrt{A} \cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \cdot \sqrt{A}} = \frac{\sqrt{2}}{A^{3/2}}$。于是 $\left| \frac{1}{\sqrt{f(x)}} - \frac{1}{\sqrt{A}} \right| \leq \frac{\sqrt{2}|f(x)-A|}{A^{3/2}}$。
提示：放缩时注意分母越大，分数越小，所以用下界放缩分母。
步骤 5/6
目标：利用已知极限构造δ
由 $\lim_{x \to a} f(x) = A$，对 $\varepsilon' = \frac{A^{3/2}}{\sqrt{2}} \varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta_2$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon'$。
提示：注意 $\varepsilon'$ 的选取要使得最终结果小于 $\varepsilon$。
步骤 6/6
目标：取δ并完成证明
取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，有 $\left| \frac{1}{\sqrt{f(x)}} - \frac{1}{\sqrt{A}} \right| \leq \frac{\sqrt{2}|f(x)-A|}{A^{3/2}} < \frac{\sqrt{2}}{A^{3/2}} \cdot \frac{A^{3/2}}{\sqrt{2}} \varepsilon = \varepsilon$。因此，由极限定义，$\lim_{x \to a} \frac{1}{\sqrt{f(x)}} = \frac{1}{\sqrt{A}}$。
提示：δ取两个δ的最小值，确保两个条件同时成立。
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