哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
七．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内处处存在有意义，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可取到最大值与最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确条件与结论
题目中 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内处处有定义，但未说明连续性。实际上，仅凭有定义不能保证取到最值，例如 $f(x)=\begin{cases} x, & x\in(a,b) \\ 0, & x=a\text{ 或 }x=b \end{cases}$ 在 $[a,b]$ 上有定义，但可能取不到最大值或最小值。因此，通常需要假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。以下按连续函数证明。
提示：注意区分“有定义”和“连续”的区别，连续是取到最值的充分条件。
步骤 2/7
目标：证明有界性
反证法。假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界，则对任意正整数 $n$，存在 $x_n\in[a,b]$ 使得 $|f(x_n)|>n$。由致密性定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理），有界数列 $\{x_n\}$ 存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于 $x_0\in[a,b]$。由连续性，$f(x_{n_k})\to f(x_0)$，但 $|f(x_{n_k})|>n_k\to\infty$，矛盾。故 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
公式：致密性定理：有界数列必有收敛子列。
提示：反证法假设无界时，注意构造数列满足 $|f(x_n)|>n$，并利用收敛子列导出矛盾。
步骤 3/7
目标：定义上确界并构造数列
令 $M=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$。由于 $f(x)$ 有界，$M$ 为有限实数。由上确界定义，存在数列 $\{x_n\}\subset[a,b]$ 使得 $f(x_n)\to M$。
公式：$M=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}$
提示：上确界存在性依赖于有界性，注意 $M$ 可能不是最大值。
步骤 4/7
目标：利用致密性定理取收敛子列
数列 $\{x_n\}\subset[a,b]$ 有界，由致密性定理，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于 $x^*\in[a,b]$。
提示：注意子列收敛点 $x^*$ 仍在闭区间内。
步骤 5/7
目标：由连续性得到最大值
由 $f(x)$ 在 $x^*$ 处连续，有 $f(x_{n_k})\to f(x^*)$。又因为 $f(x_{n_k})\to M$，由极限唯一性得 $f(x^*)=M$。因此 $f(x)$ 在 $x^*$ 处取到最大值 $M$。
公式：$\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(\lim_{k\to\infty}x_{n_k})=f(x^*)$
提示：连续性保证极限与函数值交换，这是关键步骤。
步骤 6/7
目标：类似证明最小值存在
令 $m=\inf\{f(x):x\in[a,b]\}$。存在数列 $\{y_n\}\subset[a,b]$ 使得 $f(y_n)\to m$。取收敛子列 $\{y_{n_k}\}$ 收敛于 $y^*\in[a,b]$，由连续性得 $f(y^*)=m$。因此最小值也可取到。
公式：$m=\inf\{f(x):x\in[a,b]\}$
提示：最小值证明与最大值对称，注意下确界定义。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，在 $f(x)$ 连续的条件下，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可取到最大值和最小值。若 $f(x)$ 不连续，结论不一定成立。
提示：强调连续性的重要性，并指出反例。
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