哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
三．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 内连续且有渐近线 $\displaystyle y=a x+b$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用渐近线定义，将函数分解为线性部分和无穷小部分
由渐近线定义，有 $\lim_{x\to +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ 和 $\lim_{x\to -\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$。因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，使得当 $|x|>M$ 时，$|f(x)-(ax+b)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$
提示：注意渐近线定义中极限是趋于无穷时的差趋于0，这里取$\varepsilon/3$是为了后续放缩。
步骤 2/7
目标：在闭区间上利用一致连续性
考虑闭区间 $[-M-1, M+1]$。由于 $f(x)$ 在闭区间上连续，从而一致连续。故存在 $\delta_1>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[-M-1,M+1]$，当 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
提示：闭区间上连续函数一定一致连续，这是经典结论。注意区间端点取$M+1$而非$M$是为了后续处理边界情况。
步骤 3/7
目标：定义全局的$\delta$并分情况讨论
取 $\delta = \min\{\delta_1, 1, \frac{\varepsilon}{3(|a|+1)}\}$（若 $a=0$，则取 $\delta = \min\{\delta_1, 1\}$）。对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ 满足 $|x_1-x_2|<\delta$，分三种情况讨论。
公式：$\delta = \min\{\delta_1, 1, \frac{\varepsilon}{3(|a|+1)}\}$
提示：注意$\delta$的选取要同时满足区间内一致连续和区间外线性部分的控制。若$a=0$，则无需考虑$\frac{\varepsilon}{3|a|}$。
步骤 4/7
目标：情况1：两点都在闭区间内
若 $x_1,x_2\in[-M-1,M+1]$，则由 $\delta\leq\delta_1$ 及一致连续性知 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
提示：直接应用闭区间上的一致连续性。
步骤 5/7
目标：情况2：两点都在闭区间外
若 $x_1,x_2\notin[-M-1,M+1]$，则 $|x_1|>M$ 且 $|x_2|>M$。利用渐近线性质放缩：
$|f(x_1)-f(x_2)| \leq |f(x_1)-(ax_1+b)| + |a(x_1-x_2)| + |(ax_2+b)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3} + |a|\delta + \frac{\varepsilon}{3}$。
由于 $\delta \leq \frac{\varepsilon}{3(|a|+1)}$，故 $|a|\delta < \frac{\varepsilon}{3}$，从而 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
公式：$|f(x_1)-f(x_2)| \leq |f(x_1)-(ax_1+b)| + |a||x_1-x_2| + |(ax_2+b)-f(x_2)|$
提示：注意绝对值放缩时，线性部分$|a(x_1-x_2)|$要用到$|x_1-x_2|<\delta$。若$a=0$，则$|a|\delta=0$，直接得到$<2\varepsilon/3<\varepsilon$。
步骤 6/7
目标：情况3：一点在区间内，一点在区间外
不妨设 $x_1\in[-M-1,M+1]$，$x_2\notin[-M-1,M+1]$。由于 $|x_1-x_2|<\delta\leq1$，且 $x_2$ 不在区间内，则 $x_2$ 必在区间端点附近：若 $x_2>M+1$，则 $x_1>M$；若 $x_2<-M-1$，则 $x_1<-M$。总之 $|x_1|>M$ 且 $|x_2|>M$。于是同情况2可得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
提示：关键点在于利用$\delta\leq1$推出区间外的点与区间内的点距离很近，从而区间内的点也落在渐近线控制范围内。
步骤 7/7
目标：总结一致连续性
综上，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。故 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
提示：一致连续的定义：对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得任意两点距离小于$\delta$时函数值差小于$\varepsilon$。
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