哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
二．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且存在周期 $T$ ．
（1）证明 $\displaystyle \{x \mid \forall T>0, f(x)=f(x+T)\}$ 为非空集；
（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 存在最小正周期 $T$ ；
（3）若去掉＂连续＂这个条件，（2）的结论是否成立，成立请证明；不成立举反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明周期集合非空
由题设，$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续且存在周期 $T$，即存在某个正数 $T_0>0$，使得对任意 $x\in\mathbb{R}$，有 $f(x+T_0)=f(x)$。因此，所有正周期构成的集合 $P=\{T>0\mid \forall x\in\mathbb{R}, f(x+T)=f(x)\}$ 至少包含 $T_0$，故 $P\neq\varnothing$。
公式：$P=\{T>0\mid \forall x\in\mathbb{R}, f(x+T)=f(x)\}\neq\varnothing$
提示：注意集合定义中的 $\forall T>0$ 是笔误，实际应为存在某个正周期。
步骤 2/3
目标：证明存在最小正周期（非常数情形）
设 $P$ 为所有正周期的集合，令 $T_0=\inf P$。首先证明 $T_0>0$：反设 $T_0=0$，则存在一列正周期 $T_n\to 0$。对任意 $x,y\in\mathbb{R}$，可取 $T_n$ 的整数倍逼近 $y-x$，由连续性可得 $f(x)=f(y)$，即 $f$ 为常数函数，与非常数假设矛盾。故 $T_0>0$。其次证明 $T_0\in P$：取周期序列 $T_n\to T_0$，对任意 $x$，由连续性，$f(x+T_0)=\lim_{n\to\infty}f(x+T_n)=f(x)$，故 $T_0$ 是周期。由下确界定义，任何小于 $T_0$ 的正数都不是周期，因此 $T_0$ 为最小正周期。
公式：$T_0=\inf P>0$，且 $f(x+T_0)=f(x)$
提示：常数函数没有最小正周期，此处隐含 $f$ 不是常数函数。
步骤 3/3
目标：讨论去掉连续条件后的情形
结论不成立。反例：狄利克雷函数 $f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$。该函数处处不连续，任意有理数 $r>0$ 都是周期（因为 $x+r$ 与 $x$ 同为有理数或无理数），故正周期集合为所有正有理数，下确界为 $0$，但 $0$ 不是正周期，且不存在最小正周期。
公式：$f(x+r)=f(x)$ 对任意有理数 $r>0$ 成立
提示：反例需说明函数不连续且无最小正周期。
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