哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
五．设 $\displaystyle \max _{a \leqslant x \leqslant b} f(x)=M$ ，试证明
$$
M=\sqrt[n]{\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：指出原题错误并给出正确结论
原题中的等式 $M = \sqrt[n]{\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}$ 一般不成立，正确的结论是：当 $n \to \infty$ 时，$\left(\int_a^b |f(x)|^n dx\right)^{1/n} \to M$，其中 $M = \max_{a \leq x \leq b} |f(x)|$。
提示：注意区分等式与极限，避免直接认为等式成立。
步骤 2/5
目标：设定最大值并给出上界估计
设 $M = \max_{a \leq x \leq b} |f(x)|$，则对任意 $x \in [a,b]$ 有 $|f(x)| \leq M$。于是
$$
\left(\int_a^b |f(x)|^n dx\right)^{1/n} \leq \left(\int_a^b M^n dx\right)^{1/n} = M (b-a)^{1/n}.
$$
公式：Holder不等式或直接放缩
提示：注意积分区间长度的影响，不要忽略 $(b-a)^{1/n}$。
步骤 3/5
目标：利用最大值点构造下界估计
由最大值定义，存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $|f(x_0)| = M$。由 $f$ 的连续性，对任意 $\varepsilon > 0$，存在区间 $[c,d] \subset [a,b]$ 使得当 $x \in [c,d]$ 时 $|f(x)| \geq M - \varepsilon$。于是
$$
\left(\int_a^b |f(x)|^n dx\right)^{1/n} \geq \left(\int_c^d (M-\varepsilon)^n dx\right)^{1/n} = (M-\varepsilon) (d-c)^{1/n}.
$$
公式：积分单调性
提示：需要利用连续性保证存在小区间，且 $d-c > 0$。
步骤 4/5
目标：取极限并证明极限存在
令 $n \to \infty$，由于 $(b-a)^{1/n} \to 1$，$(d-c)^{1/n} \to 1$，由上界估计得
$$
\limsup_{n \to \infty} \left(\int_a^b |f(x)|^n dx\right)^{1/n} \leq M,
$$
由下界估计得
$$
\liminf_{n \to \infty} \left(\int_a^b |f(x)|^n dx\right)^{1/n} \geq M-\varepsilon.
$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，$\liminf \geq M$，结合 $\limsup \leq M$，故极限存在且等于 $M$。
公式：极限的夹逼定理
提示：注意区分上极限和下极限，并利用 $\varepsilon$ 的任意性。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，原题中的等式应理解为极限形式：
$$
M = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\int_a^b |f(x)|^n dx}.
$$
提示：最终结论是极限，不是等式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。