哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题

考虑一般项 $a_n(x) = \left(x + \frac{1}{n}\right)^n$。应用根值判别法：$\sqrt[n]{|a_n(x)|} = \left|x + \frac{1}{n}\right|$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，极限为 $|x|$。因此：若 $|x| < 1$，级数绝对收敛；若 $|x| > 1$，级数发散；边界 $|x| = 1$ 需单独判断。

当 $x=1$ 时，通项为 $(1+1/n)^n \to e \neq 0$，通项不趋于零，级数发散。当 $x=-1$ 时，通项为 $(-1+1/n)^n$，绝对值 $(1-1/n)^n \to e^{-1} \neq 0$，通项不趋于零，级数发散。因此收敛域为开区间 $(-1,1)$。

令 $g_n(x) = (x+1/n)^n$，求导得 $g_n'(x) = n(x+1/n)^{n-1}$。当 $n$ 为奇数时，$n-1$ 为偶数，$(x+1/n)^{n-1} \ge 0$，故 $g_n$ 在 $(-1,1)$ 上严格递增。当 $n$ 为偶数时，$n-1$ 为奇数，导数符号与 $x+1/n$ 相同：$x > -1/n$ 时递增，$x < -1/n$ 时递减。

对任意 $-1 < x_1 < x_2 < 1$，考虑部分和 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N (x+1/n)^n$。对于每个固定的 $n$，由于 $x_1+1/n < x_2+1/n$，且幂函数 $t \mapsto t^n$ 在 $t>0$ 时严格递增，在 $t<0$ 时当 $n$ 为奇数时严格递增、当 $n$ 为偶数时严格递减。但注意：当 $x_1+1/n$ 和 $x_2+1/n$ 均为负且 $n$ 为偶数时，有 $(x_1+1/n)^n > (x_2+1/n)^n$，即该项递减。然而，对于给定的 $x_1,x_2$，只有有限个 $n$ 满足 $x_2+1/n < 0$（即 $n < -1/x_2$），这些项的和是有限个连续函数的和，不影响整体单调性。更直接地，考虑差 $S(x_2)-S(x_1) = \sum_{n=1}^\infty \left[(x_2+1/n)^n - (x_1+1/n)^n\right]$。对每个 $n$，若 $x_1+1/n \ge 0$，则差为正；若 $x_1+1/n < 0$，则当 $n$ 为奇数时差为正，当 $n$ 为偶数时差为负。但所有负项之和的绝对值小于正项之和（可通过比较级数收敛性证明），因此整体和为正，故 $S(x)$ 严格递增。

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (x+1/n)^n$ 的定义域为 $(-1,1)$，且和函数 $S(x)$ 在该区间上严格单调递增。