哈尔滨工业大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
六．求
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{n+\frac{1}{n}}}
$$
的玫散性．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出级数通项并化简
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{n+\frac{1}{n}}}$，令 $a_n = \frac{1}{n^{n+\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n^n \cdot n^{1/n}} = \frac{1}{n^n} \cdot n^{-1/n}$，则级数为 $\sum (-1)^n a_n$。
公式：$a_n = \frac{1}{n^{n+\frac{1}{n}}}$
提示：注意 $n^{n+\frac{1}{n}} = n^n \cdot n^{1/n}$，不要混淆指数运算。
步骤 2/6
目标：验证通项趋于零
计算 $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^n} \cdot n^{-1/n}$。由于 $n^n \to \infty$，且 $n^{-1/n} = e^{-\frac{\ln n}{n}} \to e^0 = 1$，故 $\lim a_n = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n^{-1/n} = 1$
提示：注意 $n^{-1/n}$ 的极限为1，不要误认为趋于0。
步骤 3/6
目标：判断通项单调递减
考虑比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^{n+1/n}}{(n+1)^{n+1+1/(n+1)}}$。取对数后利用不等式 $\ln(1+x) < x$ 进行放缩：$\ln(n+1) < \ln n + \frac{1}{n}$。代入化简得 $\ln\frac{a_{n+1}}{a_n} < -\ln n - 1 - \frac{1}{n(n+1)} < 0$，因此 $a_{n+1} < a_n$，即 $a_n$ 单调递减（从 $n=2$ 开始）。
公式：$\ln(1+x) < x$ 对 $x>0$
提示：放缩时注意各项符号，确保不等式方向正确。
步骤 4/6
目标：应用莱布尼茨判别法
由于 $a_n$ 单调递减且趋于0，由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum (-1)^n a_n$ 收敛。
公式：莱布尼茨判别法
提示：莱布尼茨判别法要求通项单调递减且趋于0，缺一不可。
步骤 5/6
目标：判断绝对收敛性
考虑正项级数 $\sum a_n = \sum \frac{1}{n^{n+1/n}}$。由于 $n^{n+1/n} > n^n$，故 $a_n < \frac{1}{n^n}$。而 $\sum \frac{1}{n^n}$ 收敛（例如用比值判别法或比较 $\frac{1}{n^n} \le \frac{1}{2^{n-1}}$ 对 $n\ge 2$），因此 $\sum a_n$ 收敛，原级数绝对收敛。
公式：$\frac{1}{n^{n+1/n}} < \frac{1}{n^n}$
提示：注意 $n^{1/n} > 1$，所以分母更大，分数更小，放缩方向正确。
步骤 6/6
目标：总结收敛性
原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{n+\frac{1}{n}}}$ 绝对收敛，因此收敛。
提示：绝对收敛必收敛，但反之不成立。
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